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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas

24 de julio de 2012

Parte I
Lógica

Proposiciones

Considere las siguientes frases
Páseme el lápiz.
2+3=5
1
2

+

1
3

=

2
5

Qué hora es?
En Bogotá todos los días llueve
Yo estoy mintiendo
Maradona fue mejor jugador que Pelé.

Proposiciones

Considere lassiguientes frases
Páseme el lápiz. Es una orden.
2 + 3 = 5. Es verdadero
1
2

+

1
3

= 2 . Es falso
5

Qué hora es? Es una pregunta.
En Bogotá todos los días llueve. Es falso.
Yo estoy mintiendo. Es una paradoja.
Maradona fue mejor jugador que Pelé. Es una opinión.

Proposiciones

Definición
Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la
cual se puede afirmar que esfalsa (F) o verdadera (V) pero no
ambas cosas a la vez

Proposiciones

Proposiciones Compuestas
Son aquellas que están formadas por proposiciones simples,
su valor de verdad depende de los valores de verdad de cada
una de las proposiciones simples y del tipo de conectivo.

Proposiciones

Ejemplos
Julián estudia química y música.
Si compro el libro, entonces no voy a cine.Conectivos lógicos
Los siguientes son los conectivos lógicos más usados
Los conectivos lógicos son las palabras como y, o, no, si ...
entonces, que permiten combinar proposiciones simples para
producir otras, llamadas proposiciones compuestas. Sus
símbolos son:
Negación ∼
Conjunción ∧
Disyunción ∨
ó exclusivo ⊻
Condicional −→
Bi condicional ←→

Proposiciones

Ejemplo
Julián estudia químicay música. Es un enunciado de la forma
p ∧ q,
donde
p:
Julián estudia química,
q:
Julián estudia música.

Proposiciones

Ejercicio
Simbolizar las siguientes proposiciones en términos de p, q, r .
Este semestre inscribí Inglés I y Matemáticas Básicas.
O inicio clases esta semana, ó presto el servicio militar.
Si termino la carrera, entonces hago una maestría.
Si paso MatemáticasBásicas, entonces puedo ver Cálculo
Diferencial.
Puedo ver Inglés II si pasó Inglés I.
Mañana a las 9 am, o voy a jugar fútbol, ó a estudiar a la
biblioteca.

Proposiciones

Ejercicio
Simbolizar las siguientes proposiciones matemáticas.
Dos es mayor que cinco.
Cuatro no es un número impar.
Cinco es igual a tres o cinco es mayor que seis.
No es cierto que: si un número es par entonces esprimo.
Si ocho es menor que cinco o mayor que siete, entonces
no es igual a seis.

Proposiciones

Ejercicio
Negar las siguientes proposiciones.
El viento sopla muy fuerte.
El amigo de Juan tiene razón.
No ocurre que 3 = 7.
Las elecciones presidenciales siempre terminan en
armonía.

Proposiciones

Proposiciones
Si p y q son proposiciones simples, entonces
∼ p, ∼ q, p ∧ q, q ∧ p,p ∨ q, q ∨ p,
p −→ q, q −→ p, p ←→ q, q ←→ p también lo son.

Negación

Negación
Dada una proposición p, llamaremos a ∼ p la negación de p.
Si p es verdadera (V) ∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces
∼ p es verdadera.
∼ p se lee como
no p
es falso que...
no es cierto que...

Negación

Negación
Dada una proposición p, llamaremos a ∼ p la negación de p.
Si p es verdadera (V)∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces
∼ p es verdadera.
∼ p se lee como
no p
es falso que...
no es cierto que...

Negación

Negación
Dada una proposición p, llamaremos a ∼ p la negación de p.
Si p es verdadera (V) ∼ p es falsa (F), si p es falsa entonces
∼ p es verdadera.
∼ p se lee como
no p
es falso que...
no es cierto que...

Negación

Negación
p
∼p
V
F

NegaciónNegación
p
∼p
V
F
F

Negación

Negación
p
∼p
V
F
F
V

Conjunción

Conjunción
Dadas las proposiciones p, q, a la proposición p ∧ q se le
denomina la conjunción de p y q, y será verdadera cuando los
dos enunciados p, q sean simultáneamente verdaderos, y falsa
en cualquier otro caso.
p ∧ q se lee p y q

Conjunción

Conjunción
p q p∧q
V V
V F
F V
F F...