hiperbola

Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.




Elementos de la hipérbola
Focos: Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento.
Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' sonlos puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal: Es el segmento  de longitud 2c.
Eje mayor: Es el segmento  de longitud 2a.Eje menor: Es el segmento  de longitud 2b.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 
Relación entre los semiejes

http://www.vitutor.com/geo/coni/h_1.html
La hipérbola como lugar geométrico
En el apartado Secciones cónicas hemos visto que la hipérbola está formada por el lugar geométrico de los puntos del planocuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamado focos, y que llamaremos F y F', es constante. Es decir
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF-PF' es constante
P es un punto de la hipérbola si y sólo si PF'-PF es constante
Estas dos condiciones se pueden resumir en una: P es un punto de la hipérbola si y sólo si |PF-PF'| es una cantidad constante.


La hipérbola tiene dosramas: la rama de la derecha cumple que PF'-PF es constante, y la rama de izquierda cumple que PF-PF' es constante
Los elementos fundamentales de la hipérbola
Focos: son los puntos fijos F y F'
Radio vectores de un punto P: son los segmentos PF y PF'
Distancia focal: es la distancia entre los focos F y F'
Eje focal: es la recta que pasa por los focos. La mediatriz del segmento FF' recibe elnombre de eje imaginario o eje secundario. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos que vamos a llamar vértices de la hipérbola; los designaremos mediante las letras A y A'. El punto de corte de ambos ejes recibe el nombre de centro de la hipérbola. Observa que la hipérbola es simétrica respecto al eje focal y respecto al eje imaginario, así como respecto a su centro.

Excentricidad de lahipérbola
Se define la excentricidad de le hipérbola de la siguiente forma: e = c/a. Como a < c, se tendrá que e > 1, para la hipérbola. Podemos entonces concluir que la hipérbola es una cónica cuya excentricidad es mayor que 1.
Comparando hipérbolas según su excentricidad
Al dibujar en los mismos ejes, hipérbolas con diferentes excentricidades, siendo a = 5, obtenemos los siguientes gráficos

Seobserva entonces el efecto que tiene sobre las hipérbolas el aumento de la excentricidad: cuando más pequeña es la excentricidad, más se cierran las ramas. Si forzamos el razonamiento, una hipérbola de excentricidad 1, se correspondería con dos semirrectas rectas horizontales con origen respectivos en 5 y -5. Al hacer que la excentricidad (e) aumente, las ramas de la hipérbola se abren sobre losejes. Para e tendiendo a +infinito, la hipérbola se corresponderían con dos rectas verticales.
Tangente y normal en un punto de la hipérbola
Dos propiedades importantes de la tangente y normal a una hipérbola en un punto P
La bisectriz de las rectas que contienen a los radios-vectores de P, en una hipérbola, es tangente a la hipérbola
Hemos de demostrar que la bisectriz del ángulo F'PF estangente a la hipérbola (Figura 1)

 
Figura 1

Figura 2

Figura 3
Sean s y r las rectas que contienen a los radio vectores del punto P. Sea Q un punto de r, tal que PF = PQ (Figura 2). Sea t la bisectriz del ángulo FPF´. Por construcción t debe ser la mediatriz del segmento FQ.
Demostraremos que t es tangente a la hipérbola. Para ello, tomamos otro punto cualquiera de t, que llamamos por...