hiperbola

Hipérbola

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Hipérbola
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una
sección cónica, una curva abierta de dos ramas
obtenida cortando un cono recto por un plano
oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor
que el de la generatriz respecto del eje de
revolución.[1]
Una hipérbola es el lugar geométrico de
los puntos de un plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de susdistancias
a dos puntos fijos, llamados focos, es igual
a la distancia entre los vértices, la cual es
una constante positiva.

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules que
se cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos
focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal.
La delgada línea perpendicular en negroque pasa por el centro es el eje
conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lo
tanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. La
excentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde)
desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente
directriz. Los dos vértices se encuentran en el ejetransversal a una distancia
±a con respecto al centro.

Etimología. Hipérbole e hipérbola
Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognado
de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Secciones cónicas.

Hipérbola

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Historia
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por
Menecmo, en su estudio del problema de la duplicacióndel cubo,
donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de una
parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por
Proclo y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de
Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de
las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las
tangentes asecciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con
centro en el origen de coordenadas
y ecuación de la hipérbola
en su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto
Debido a la inclinación del corte, el plano de la
hipérbola interseca ambas ramas del cono.

Ejemplos:
a)

b)

Si el semieje transverso a seencuentra en el eje x, y el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la hipérbola es
horizontal; si es al revés, es vertical. La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano
; tales que, cualesquiera de ellos satisface lacondición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias
igual al doble de la distancia (o sea

, a dos puntos fijos llamados focos

y

, es una constante positiva

) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.

La ecuación queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Hipérbola

3Ecuaciones en coordenadas polares

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
Hipérbola abierta de noroeste a sureste:
Dos hipérbolas y sus asíntotas en coordenadas
cartesianas.

Hipérbola con origen en el foco derecho:

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

Ecuaciones paramétricas
Hipérbola abierta dederecha a izquierda:

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola

En todas las fórmulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es la
longitud del semieje menor.

Elementos de la hipérbola
Eje mayor
El eje mayor es la recta de la hipérbola donde perteneces los focos y los vertices de la misma. Su...