Hiperbola
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
MATEMÁTICAS BÁSICAS
HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA
P del plano, tales que la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos en el plano es constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos.
Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos
Gráficamente esto es:
y
PB1
d1
F2
d2
V2
V1
F1
x
B2
d1-d2= constante
V2V1 que pasa por los focos es el eje real. La mediatriz B2 B1
del eje real es el eje imaginario. Cada extremo del eje real V1 y V2 se llama vértice. El punto medio del
Con relación a la figura, el segmento de recta
segmento F2 F1 se llama centro de la hipérbola. La distancia del centro a cada vértice se llama semiejereal y
1
la distancia del centro a cada extremo del eje imaginario se conoce como semieje imaginario .
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL
ORIGEN
A partir de la definición de la hipérbola y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se
puede deducir la ecuación de una hipérbola en un sistema de coordenadas rectangulares.
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Algunos textos,definen al eje real como eje transverso y al eje imaginario como eje conjugado.
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Hipérbola
Facultad de Contaduría y Administración. UNAM
Si los vértices se ubican en las coordenadas
V1 (a ,0)
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
y
V2 (− a ,0) ,
los focos están en
F1 (c ,0)
y
F2 (− c ,0) , el eje real de la hipérbola es coincidente al eje x , y si su centro seubica en el origen, tiene
la siguiente forma:
y
P
d1
B1(0,b)
d2
F2(-c,0)
V1(a,0)
V2(-a,0)
F1(c,0)
x
B2(0,-b)
P está en cualquiera de los vértices, la diferencia de distancias d1 − d 2 da como resultado
a − c − (−c − a ) , por lo que la suma constante se establece en 2a , a > 0 .
Si el punto
(
)
El punto P x , y pertenecerá a la hipérbola si y sólosi:
por lo tanto:
(x − (− c ))2 + ( y − 0 )2 − (x − c )2 + ( y − 0 )2
d1 − d 2 = 2a ,
= 2a
que equivale a:
(x + c )2 + y 2
= 2a +
(x − c)2 + y 2
elevando ambos miembros al cuadrado:
(x + c )2 + y 2
2
= 2a +
(x − c )2 + y 2
2
desarrollando:
(x + c)2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
x 2 + 2 xc + c 2 +y 2 = 4a 2 + 4a
(x − c )2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2
eliminando términos iguales:
2
Hipérbola
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2 xc = 4a 2 + 4a
Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
(x − c )2 + y 2 − 2 xc
que equivale a:
(x − c )2 + y 2
= 4 xc − 4a 2
dividiendo todo por 4 :
4a
a
(x − c )2 + y 2
= xc − a 2
elevando nuevamente alcuadrado ambos miembros:
a
(x − c )2 + y 2
2
(
(
= xc − a 2
)(
a 2 (x − c )2 + y 2 = xc − a 2
(
)(
)
2
)
2
a 2 x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 = xc − a 2
)
2
a 2 x 2 − 2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 = x 2 c 2 − 2a 2 xc + a 4
reduciendo términos semejantes:
a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 = x 2c 2 + a 4
invirtiendo nuevamente los miembros:x 2c 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2
acomodando convenientemente:
x 2c 2 − x 2a 2 − a 2 y 2 = a 2c 2 − a 4
factorizando x
(
)
2
2
en el primer miembro y a en el segundo miembro:
(
x2 c2 − a2 − a2 y2 = a2 c2 − a2
si se denota como b
2
)
a la expresión c − b , y se sustituye se tiene que:
2
2
x 2b 2 − a 2 y 2 = a 2b 2
a 2b 2 toda la expresión:
x2b 2 a 2 y 2 a 2b 2
−
=
a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2
dividiendo por
finalmente queda como:
x2
a2
−
y2
b2
=1
ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la hipérbola horizontal con centro en el origen,
de semieje real a y de semieje imaginario b .
Una de las asíntotas pasa por el origen y el punto
(a ,b) ,
por lo que su ecuación está dada por:
y −0 0−b b
=...
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