Historia De La Programacion Matematica

PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA: ASPECTOS HISTÓRICOS

G. RUIZ- GARZÓN Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Cádiz Facultad de Ciencias Sociales y de la Comunicación Campus de Jerez de la Frontera Avda. de la Universidad s/n 11405 Jerez de la Frontera Cádiz Teléfono: 956 03 7740 e-mail:gabriel.ruiz@uca.es

M. ARANA-JIMÉNEZ Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Cádiz EscuelaSuperior de Ingeniería Campus de Cádiz C/ Chile, 1 11002 Cádiz Teléfono: 956 01 5313 e-mail: manuel.arana@uca.es

RESUMEN El objetivo de este trabajo es efectuar un recorrido por la historia de la Programación Matemática y reflejar los aspectos históricos del desarrollo de esta rama de la Investigación Operativa y de sus artífices. Mostraremos así la génesis del método de los multiplicadores deLagrange, que en sus comienzos estuvo ligado a la búsqueda de un estado de equilibrio estable en un sistema mecánico y a los esfuerzos desarrollados por Lagrange o Fourier. La importancia de las soluciones no negativas de un conjunto de desigualdades y ecuaciones no fue tan evidente hasta el desarrollo de la programación matemática lineal. Nos ocuparemos de los llamados teoremas de la Alternativa quejuegan un importante papel a la hora de obtener dichas soluciones no negativas y de las condiciones necesarias de optimalidad. Repasaremos los esfuerzos de Karush, John, Kuhn y Tucker para conseguir condiciones de optimalidad para problemas de programación no lineales. Indagaremos en los inicios de la Programación Matemática, del método del Simplex y de la Investigación Operativa, materias muyrelacionadas con la resolución de problemas militares.

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Acabaremos haciendo un recorrido por las distintas definiciones de funciones convexas generalizadas que han ido apareciendo a lo largo del siglo pasado.

1.- La condición de Lagrange y otros antecedentes mecánicos

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) nace en Turín en 1736, pero con familia de ascendencia francesa. Las dificultadesfinancieras derivadas de los negocios de su padre le llevan a decantarse por el estudio de las Matemáticas. En sus palabras: “Si hubiera sido rico no me hubiera dedicado a las Matemáticas”. Era el más pequeño de 11 hermanos. Ejerció de profesor en la Escuela de Artillería de Turín. Entre 1766 y 1787 trabajó en la Academia de Berlín, donde dirigió la sección de Matemáticas, tras la marcha de Euler aS. Petersburgo. En 1787 acepta la oferta de incorporarse a la Academia de Ciencias de París. Miembro de la Comisión de Pesas y Medidas, sus aportaciones fundamentales van desde la mecánica celeste, el análisis (las ecuaciones diferenciales y elípticas), el álgebra y la aritmética. Será nombrado senador por Napoleón hasta su muerte. En 1788 Joseph-Louis Lagrange, con sólo 19 años, en su libro“Mecánique Analytique” incluye el método para calcular los extremos de funciones sujeto a restricciones en igualdad. Lo describe como una herramienta para encontrar un estado de equilibrio estable de un sistema mecánico. Teorema. Si  (x ) denota la función potencial y sea el problema de Min  (x ) s.a gi ( x)  0, i  1, , m
m

la condición necesaria del Lagrangiano L( x,  )   ( x)   i g i ( x)para alcanzar el
i 1

equilibrio del sistema establece que en el punto mínimo x, es donde el gradiente de  (x ) pueda ser expresado como una combinación lineal de los gradientes de g i (x ) .
m

 ( x)   ig i ( x)  0
i 1

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Los factores i que forman la combinación lineal de estos gradientes son llamados los multiplicadores de Lagrange. Se observa fácilmente que los óptimosdel Lagrangiano coinciden con los óptimos del la función objetivo. La “Mecánique Analytique” fue aprobada para su publicación por un comité de la Academia de Ciencias formada por Laplace, Legendre y Condorcet, entre otros. En esta obra transforma la mecánica en una rama del análisis matemático. En el prólogo escribe: “Que nadie busque figuras en esta obra. Los métodos que se expondrán no...