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Matemática Aplicada y Estadística - Farmacia

Hoja 2: Estadística de dos varibles

1. Una persona se somete a una dieta de adelgazamiento durante cinco semanas. A continuación se detalla su peso
al término de cada una de esas semanas:
Semana de dieta (X)
Peso en Kg (Y)

1
88.5

2
87

3
84

4
82.5

5
79

a) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre el peso y laduración de la dieta.
b) A partir del valor del coeficiente de correlación lineal, ¿resultaría adecuado utilizar la recta de regresión
para hacer predicciones de la evaluación del peso a medida que se prolonga la dieta?
c) Calcular la recta de regresión.
d ) ¿Qué peso es de esperar que alcance esta persona si mantiene la dieta durante dos semanas más?
Sol.: a): r = −0.99; c): y = 84.2 − 2.35 (x −3); d): aproximadamente 74.8 Kg.
Solución
Apartado a): Para calcular el coeficiente de correlación lineal entre el peso, X, y la duración de la dieta, Y ,
tenemos que calcular la media aritmética de ambas variables, x, y, la desviación típica, sX , sY , y la covarianza,
sXY . Se observa que todos los pares de valores tienen frecuencias absolutas iguales a 1. Tenemos:

x

y

sX

sYsXY

=

=

1
5
1
5

xi =

yi =

1
5

1
421
(88.5 + 87 + 84 + 82.5 + 79) =
= 84.2
5
5

5

i=1

1
5

=

1
15
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =
=3
5
5

i=1

1
5

=

=

5

1/2

5

=

4.32 + 2.82 + (−0.2)2 + (−1.7)2 + (−5.2)2
5

1/2

(yi − y)

2

i=1
5

(xi − x)(yi − y) =
i=1

√

(−2)2 + (−1)2 + 0 + 12 + 22
5

i=1
5

1/2

=

(xi −x)2

=

2 ≈ 1.41
1/2

=

√

11.26 ≈ 3.35

1
(−2 · 4.3 − 1 · 2.8 + 0 · (−0.2) + 1 · (−1.7) + 2 · (−5.2)) = −4.7
5

Luego,
r=

sXY
−4.7
=√ √
= −0.99
sX · sY
2 · 11.26

Apartado b): Resultaría muy aceptable utilizar la recta de regresión para hacer predicciones de la evaluación
del peso a medida que se prolonga la dieta ya que el coeficiente de correlación lineal obtenidose aproxima
bastante al valor −1.
Se observa que como r < 0, la recta de regresión es decreciente, luego los valores del peso disminuyen a medida
que aumenta el tiempo, por tanto realizar este tipo de dieta sería adecuado durante un corto periodo de tiempo,
ya que pasados muchas semanas el peso decaería drásticamente, lo cual sería peligroso para la salud del individuo.

Dpto. EDAN - 18 deseptiembre de 2013

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Curso 2013/14

Matemática Aplicada y Estadística - Farmacia

Hoja 2: Estadística de dos varibles

Apartado c): La recta de regresión de Y respecto
a X viene dada por:

90
datos a ajustar
recta de regresión
88

⇒

y = 84.2 − 2.35 (x − 3)

86

Peso en Kg

sXY
y = y + 2 (x − x)
sX

Apartado d): El peso de espera que alcance una
persona quemantenga la dieta dos semanas más, es
decir, 7 semanas, es

84

82

80

78

y = 84.2 − 2.35 (7 − 3) = 74.8 kg

76

74

0

1

2

3

4

5

6

7

Semana de dieta

2. El valor del coeficiente de correlación lineal entre las variables peso en kilos, X, y estatura en centímetros, Y , es
r = 0.84. Se sabe que la media aritmética y la desviación típica del peso son x = 68 y sX= 5 respectivamente,
y que la media aritmética y la desviación típica de la estatura son y = 170 y sY = 10, respectivamente.
a) Calcular la covarianza de la distribución (X, Y ).
b) Calcular el peso de un individuo que mide 175 cm.
c) Determinar la estatura de un individuo de 58 kilos.
Sol.: a): sXY = 42, b): ≈ 70kg.; c): ≈ 153 cm.
Solución
Apartado a): Por definición, la covarianza de Npares de valores (X, Y ) viene dada por

sXY =

1
N

N

(xi − x)(yi − y).
i=1

En el problema nos faltan datos para poder usar dicha fórmula (no conocemos ni los xi , ni yi ni el valor de N ).
Vamos a calcular la covarianza usando el coeficiente de correlación lineal, es decir,
r=

sXY
sX · sY

⇒

sXY = r · sX · sY = 0.84 · 5 · 10 = 42

Apartado b): Se observa que como el...