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El fundamento del cálculo diferencial es la derivada. La derivada es el ritmo de cambio de una función en un punto. El concepto de derivada, como herramienta matemática, se esconde bajo lasrelaciones que las cosas tienen entre sí. Por ejemplo la tasa de natalidad respecto a la renta media, el ritmo de consumo de combustible en un avión respecto a su aceleración, etc. Para entender el conceptode derivada (que es en principio un concepto intuitivo) necesitamos entender las reglas de diferenciación. Vamos a ello.
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con laque cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambiomedia de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta funciónen un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Unavión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores endistintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, esnecesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El valor de la derivada de unafunción en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica...