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ssdANÀLISIS DE REGRESIÒN LINEAL

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modeliza la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:



Donde β0 es la intersección o término "constante", las βi son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y p esel número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

-Gráfica: No se dispone de una resolución más alta.

EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas Xk (k = 1,...K), o cualquiertransformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros βk desconocidos:


Donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo de dos variables explicativas, el hiperplano es una recta:


El problema de laregresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos βk, de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen noobservables).



Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en


Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

Supuestos del modelo de regresión lineal:
Para poder crear un modelo de regresión lineal, esnecesario que se cumpla con los siguientes supuestos:

• La relación entre las variables es lineal.
• Los errores son independientes.
• Los errores tienen varianza constante.
• Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero.
• El error total es la suma de todos los errores.

Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:

REGRESIÓNLINEAL SIMPLE
Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:

Donde es el error asociado a la medición del valor Xi y siguen los supuestos de modo que (media cero, varianza constante e igual a un σ y con ).

ANÁLISIS
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:Calculando y . Para esto se buscan dichos parámetros que minimicen

Derivando respecto a β0 y β1 e igualando a cero, se obtiene:

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:

[1]
REGRESIÒN LINEAL

Abordaremos en esta página las distribuciones bidimensionales. Las observaciones se dispondrán en dos columnas, demodo que en cada fila figuren la abscisa x y su correspondiente ordenada y. La importancia de las distribuciones bidimensionales radica en investigar como influye una variable sobre la otra. Esta puede ser una dependencia causa efecto, por ejemplo, la cantidad de lluvia (causa), da lugar a un aumento de la producción agrícola (efecto). O bien, el aumento del precio de un bien, da lugar a unadisminución de la cantidad demandada del mismo.

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribución bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de dispersión, cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas variables tal como se ve en la figura. El siguiente paso, es la determinación de la dependencia funcional...