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Semana 7
CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA
Tema

:

Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Cramer y por Reducción

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DEFINICIÓN: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un
conjunto de ecuaciones de la forma:

a11 x1  a 12 x 2    a1n x n  b1
a x  a x    a x  b
 21 1 22 2
2n n
2




 
a m1 x1  a m 2 x 2   a mn x n  bm


(1)

Siendo:
-

aij son los coeficientes del sistema.

-

bi son los términos independientes del sistema.
x j son las incógnitas del sistema.

Donde: las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente
arreglo de m x n
a1n 
 a11 a12
a
a2 n 
 21 a22
 a la cual denominaremos matriz de coeficientes.
A




amn 
am1 am 2


A los vectores:

 x1 
 b1 
b 
x 
B 2
X   2


 
 
bm 
 xn 
x es vector columna de las incógnitas ó vector solución.

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Semestre 2012-II

1

B es vector columna de los términos independientes.
Entonces, el sistema (1) se puede representar matricialmente de la siguiente forma
AX=B
Clasificaciónde los sistemas de ecuaciones en función del conjunto de soluciones:
1) Sistema Incompatible (S.I): cuando no admite solución.
2) Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución.
a) Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única
solución.
b) Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas
soluciones.

METODOS DE SOLUCIÓN DE LOSSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.

MÉTODO DE CRAMER

Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo:

a11 x1  a12 x2 
a x  a x 
 21 1 22 2


an1 x1  an 2 x2 


 a1n xn  b1
 a2 n xn  b2
 ann xn  bn

con n ecuaciones lineales y con n incógnitas.
Si el determinante A de la matriz de coeficientes A es diferente de cero, entonces el sistema tiene
una únicasolución. Además, la solución está dada por

x1 

A2
An
A1
, x2 
, …, xn 
A
A
A

Donde Ak , el numerador de xk , es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima
columna de A por la columna de constantes.

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2

2 x  y  5  0
Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones 
. Solucionar el sistema.
 x 3y  6
Solución:

2 x  y  5
El sistema, se puede escribir de la siguiente manera: 
 x  3y  6
El determinante A de la matriz de coeficientes es: A 

2 1
= (2)(3)-1(1) = 5
1 3

Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, entonces el sistema
tiene solución única.
Luego, calculamos:

A1 

5 1
 21
6 3

A2 

2 5
 17
1 6

Entonces,la solución del sistema de ecuaciones es:

x

A1 21

A
5

y

A2 17

A
5

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer

2 x  y  z  0

4 x  3 y  2 z  2
2 x  y  3z  0

Solución:
En primer lugar se resuelve el determinante de la matriz de coeficientes:

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3

2
A4

1
31
2  8 ; como A  0 , existe una solución única.
2 1 3

Resolvamos para x

x

A1
A



Resolvamos para y

0 1 1
2 3 2
0 1 3
8



4
1

8
2

y

A2
A



2 0 1
4 2 2
2 0 3
8



16
2
8

Resolvamos para z

z

A3
A



2 1 0
4 3 2
2 1 0
8



La solución es: x  

2.

8
 1
8

1
,
2

y=2

z = -1MÉTODO DE GAUSS

Este método comprende una serie de operaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales para
obtener en cada paso un sistema equivalente; es decir, un sistema con la misma solución que el
sistema original. Las transformaciones terminan cuando el sistema original ha sido reducido en su
forma escalonada reducida.
El método de Gauss-Jordan implica a realizar lo siguiente:
1....