Identidades Trigonométricas.

Trabajo de Trigonometría
Jorge Duchi December 25, 2012

1
1.1

Identidades Trigonométricas con Ángulos Múltiples
Senos
2

sin x Solucion Analítica: cos 2x = cos(x + x) cos 2x = cos x − sin2 x cos 2x = 1 − sin2 x − sin2 x cos 2x = 1 − 2 sin2 x 2 sin2 x = 1 − cos 2x sin2 x = 1 − 1 cos 2x 2 2 Solución Gráfica:

Figure 1: Imagen 1

1

Figure 2: Imagen 2 Comprobación Numérica: x=0 sin2x = 1 − 1 cos 2x 2 2 sin2 x(0) = 1 − 1 cos 2(0) 2 2 sin2 0 = 1 − 1 cos(0) 2 2 1 0 = 2 − 1 (1) 2 0=0 sin3 x Solucion Analítica: sin 3x = sin(2x + x) sin 3x = sin 2x cos x + sin x cos 2x sin 3x = [sin(x + x)] cos x + sin x [cos(x + x)] sin 3x = (2 sin x cos x) cos x + sin x(cos2 x − sin 2 x) sin 3x = 2 sin x cos2 x − sin 3 x + sin x cos 2 x sin 3x = 2 sin x(1 − sin 2 x) − sin 3 x + sin x(1 − sin 2x) sin 3x = 2 sin x − 2 sin 3 x − sin 3 x + sin x − sin 3 x sin 3x = 3 sin x − 4 sin 3 x 4 sin 3 x = 3 sin x − sin 3x 3 sin 3 x = 4 sin x − 1 sin 3x 4 Solución Gráfica:

2

Figure 3: Imagen 3

Figure 4: Imagen 4 Comprobación Numérica: x=0 sin 3 (0) = 3 sin(0) − 1 sin 3(0) 4 4 3 0 = 4 (0) − 1 (0) 4 0=0−0 0=0 sin4 x Solucion Analítica: cos 4x = cos(2x + 2x) cos 4x = cos 2x cos 2x − sin 2x sin2x cos 4x = (cos2 x − sin 2 x)(cos2 x − sin 2 x) − (2 sin x cos x)(2 sin x cos x)

3

cos 4x =(1 − sin 2 x − sin2 x)(1 − sin 2 x − sin 2 x) − 4 cos2 x sin 2 x cos 4x = (1 − 2 sin 2 x)(1 − 2 sin 2 x) − 4(1 − sin 2 x) sin 2 x cos 4x = 1 − 2 sin 2 x + 4 sin 4 x − 2 sin 4 x − 4 sin 2 x + 4 sin 4 x cos 4x = 1 − 8 sin 2 x + 8 sin 4 x −8 sin 4 x = 1 − 8 sin 2 x − cos 4x 1 sin 4 x = - 8 + sin 2 x + 1cos 4x 8 4 sin x = − 1 + ( 1 − 1 cos 2x) + 1 cos 4x 8 2 2 8 sin 4 x = − 1 + 1 − 1 cos 2x + 1 cos 4x 8 2 2 8 3 sin 4 x = 8 − 1 cos 2x + 1 cos 4x 2 8 Solución Gráfica:

Figure 5: Imagen 5

Figure 6: Imagen 6 sin5 x Solucion Analítica: sin 5x = sin (3x + 2x) sin 5x = sin 3x cos 2x + cos 3x sin 2x sin 5x = (sin 2x cos x − cos 2x sin x) cos2 x − sin 2 x +[(cos 2x cos x- sin 2x sin x) (2 sin x cosx)]

4

sin 5x = (2 sin x cos x) cos x + 1 − sin 2 x − sin 2 x sin x 1 − sin 2 x − sin 2 x + cos2 x − sin 2 x cos x − (2 sin x cos x) sin x (2 sin x cos x) sin 5x = 2 sin x cos2 x + 1 − 2 sin 2 x sin x 1 − 2 sin 2 x + 1 − sin 2 x − sin 2 x cos x − 2 sin2 x cos x (2 sin x cos x) sin 5x = 2 sin x 1 − sin 2 x + sin x − 2 sin 3 x 1 − 2 sin 2 x 2 2 + 1 − 2 sin x cos x − 2 sin x cos x (2 sin x cosx) sin 5x = 2 sin x − 2 sin3 x + sin x − 2 sin 3 x 1 − 2 sin 2 x + cos x − 2 sin2 x cos x − 2 sin2 x cos x (2 sin x cos x) sin 5x = 3 sin x − 4 sin 3 x 1 − 2 sin 2 x + cos x − 4 sin2 x cos x (2 sin x cos x) sin 5x = 3 sin x − 4 sin 3 x − 6 sin 3 x + 8 sin 5 x + 2 sin x cos2 x − 8 sin3 x cos2 x sin 5x = 3 sin x−10 sin 3 x+8 sin 5 x+2 sin x 1 − sin 2 x −8 sin3 x 1 − sin 2 x sin 5x = 3 sin x − 10 sin3 x + 8 sin 5 x + 2 sin x − 2 sin 3 x − 8 sin3 x + 8 sin 5 x sin 5x = 5 sin x − 20 sin 3 x + 16 sin 5 x 1 sin 5x = 5 sin x − 20 3 sin x − 4 sin 3x + 16 sin 5 x 4 sin 5x = 5 sin x − 15 sin x − 5 sin 3x + 16 sin 5 x sin 5x = −10 sin x − 5 sin 3x + 16 sin 5 x −16 sin 5 x = −10 sin x − 5 sin 3x − sin 5x 16 sin 5 x = 10 sin x + 5 sin 3x + sin 5x 5 1 sin 5 x = 10 sin x + 16 sin 3x + 16 sin 5x 16 5 5 1 5sin x = 8 sin x + 16 sin 3x + 16 sin 5x Solución Gráfica:

Figure 7: Imagen 7

5

Figure 8: Imagen 8 Comprobación Numérica: x=0 5 1 sin 5 x = 5 sin x + 16 sin 3x + 16 sin 5x 8 5 5 1 5 sin (0) = 8 sin (0) + 16 sin 3 (0) + 16 sin 5 (0) 0=0+0+0 0=0 sin6 x Solución Analítica: cos 6x = cos(3x + 3x) cos 6x = cos 3x cos 3x − sin 3x sin 3x cos 6x = (cos 2x cos x − sin 2x sin x) (cos 2x cos x − sin2x sin x) − (sin 2x cos x − cos 2x sin x) (sin 2x cos x − cos 2x sin x) cos 6x = cos2 x − sin 2 x cos x − (2 sin x cos x) sin x cos2 x − sin 2 x cos x − (2 sin x cos x) sin x − (2 sin x cos x) cos x − cos2 x − sin 2 x sin x (2 sin x cos x) cos x − cos2 x − sin 2 x sin x cos 6x = 1 − sin2 x − sin 2 x cos x − 2 sin2 x cos x 1 − sin2 x − sin 2 x cos x − 2 sin2 x cos x − 2 sin x cos2 x − 1 − sin 2 x...