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PERMUTACIONES

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TEMA 1

PERMUTACIONES
DEFINICIÓN: Dados n elementos, el número de maneras en que se pueden ordenar dichos elementos se llaman permutaciones.1 Por ejemplo, sea el conjunto {a, b, c, d} de cuatro elementos. Las posibles formas en que se pueden ordenar esos cuatro elementos son: abcd abdc acbd acdb adab adba bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdbadabc dacb dbac dbca dcab dcba

es decir, en total hay 24 formas diferentes de ordenarlos. Se dice entonces que existen 24 permutaciones posibles. En el estudio matemático de las permutaciones, lo que interesa saber es cuántas son, no cuáles son. A pesar de eso, en el ejemplo anterior, se enlistaron cuáles son para clarificar la idea de lo que significa permutaciones. FACTORIAL: El producto de unnúmero entero positivo n por todos los que le anteceden, se llama factorial del número n. Su símbolo es n!
Por ejemplo, el factorial de 5, escrito 5!, es el producto de 5 por todos los números enteros positivos que le anteceden, o sea

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
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La palabra "permutar" significa, en el idioma Español, cambiar el orden o disposición de alguna cosa. También significa"cambiar una cosa por otra", siempre y cuando una de esas cosas no sea dinero.

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA I

PERMUTACIONES SIN REPETICIONES Existen dos tipos de permutaciones: Sin repeticiones y con repeticiones. Se refiere al hecho de que en el conjunto de objetos que se van a permutar haya o no cosas repetidas. Aquí se comenzará con el caso más sencillo que es cuando todos losobjetos son diferentes, o sea sin repeticiones. CUANTIFICACIÓN Para obtener cuántas son las permutaciones de n elementos, se deben realizar los siguientes pasos:

1.2.3.4.-

A cada lugar que va a ser ocupado por un elemento se le asigna una equis o una cruz. Se analiza cuántos elementos pueden ocupar cada uno de los lugares, comenzando por aquellos sitios que están condicionados por el enunciado.Se coloca abajo de la cruz o de la equis correspondiente el número de maneras que puede ser ocupado cada lugar. Se coloca alguna letra arriba de la cruz correspondiente para especificar el (los) elemento(s) exclusivo(s) que deberá(n) ocupar ese sitio, conforme a las condiciones del enunciado. El producto de todos los números situados abajo de las cruces es el número total de permutaciones buscado.En caso de que la situación se repita k veces, se encierra en un paréntesis todo lo anterior y afuera se coloca el número k para indicar la multiplicación respectiva.

5.6.-

Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras se pueden ordenar los elementos { a, b, c, d } ? Solución: Primero obsérvese que todos los elementos son diferentes, por lo tanto se trata de un caso de permutaciones sin repeticiones. Comoson 4 elementos, hay cuatro lugares que van a ser ocupados por cada uno de ellos. Se ponen cuatro cruces o equis, de la siguiente manera:

×

×

×

×

El primer sitio de la izquierda puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro elementos; una vez ocupado ese primer sitio por cualquiera de los cuatro elementos, el siguiente lugar ya solamente

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podrá serocupado por uno de los tres elementos restantes; una vez ocupado ese segundo sitio por cualquiera de los tres elementos que quedaban, el siguiente lugar ya solamente podrá ser ocupado por uno de los dos elementos restantes; finalmente, una vez ocupado ese tercer sitio por cualquiera de los dos elementos que quedaban, el último lugar podrá ser ocupado por el elemento restante:

El producto de esoscuatro números es el número de permutaciones posibles con esos cuatro elementos, o sea 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila de cinco sillas, Alberto, Benito, Carlos, Dora y Elena, a) en total; b) si Alberto no puede ir en ninguno de los dos extremos de la fila; c) si Benito debe ir al principio de la fila; d) si Dora y Elena deben ir juntas? Solución:...