Inecuaciones cuadraticas

Inecuaciones
Las ecuaciones son expresiones algebraicas que contienen una o más variables ( que establecen una igualdad entre dos miembros; por ejemplo: )y

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores numéricos que la satisfacen; el conjunto de números que satisfacen una ecuación, es decir, aquellos que, al sustituir a las incógnitas, producen una igualdad verdadera, sellama conjunto solución de la ecuación. En el caso de una ecuación con una incógnita, se obtiene por lo general un conjunto solución que está contenido en (la recta real) como en el ejemplo 1. Cuando la ecuación tiene dos incógnitas, el conjunto solución esta contenido en el plano ( ), como en el ejemplo 2; hay excepciones a , o ecuaciones ) pero en estos casos, se plantea del plano tales que:esto (ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es un conjunto contenido en con una incógnita cuyo conjunto solución está contenido en explícitamente la situación. Por ejemplo, si se necesita determinar el conjunto de puntos

se tiene una ecuación con una sola incógnita, pero en el planteamiento del problema se indica que se busca un conjunto solución contenido en . Como cuando , se y tiene quetodos los puntos de la forma

todos los puntos de la forma están en el conjunto solución, puesto que a la coordenada de cualquier punto del plano no se le exige ninguna condición para que ese punto sea una solución. Una inecuación es una expresión algebraica que contiene incógnitas como una ecuación, pero no se establece en dicha expresión una igualdad, sino una desigualdad. Por ejemplo, laecuaciones 1) y 2) del ejemplo anterior se transforman en inecuaciones al sustituir la igualdad por uno de los signos:

Por ejemplo, se pueden obtener estas inecuaciones:

Resolver 1) consiste en determinar los números reales que, al sustituir a desigualdad sea verdadera. Para , por ejemplo, se tiene:

, hacen que la

Por lo tanto, 1 no es solución de la inecuación 1). Si :

En este caso, síse satisface la desigualdad, y por eso -1 pertenece al conjunto de soluciones de la inecuación. Una manera sencilla de determinar el conjunto de todas las soluciones de esta inecuación consiste en hacer una representación gráfica aproximada de la función .

La inecuación puede interpretarse como la pregunta siguiente: ¿Para cuáles números reales ?. es cierto que

Observando la curva, seconcluye que de las abscisas como se ilustra en la figura A.

siempre que la curva se encuentre debajo del eje

Está claro, por otra parte, que todos los números reales que tienen su imagen en el trozo de la curva que está debajo del eje de las abscisas, son los que pertenecen al intervalo que se muestra en la figura B.

Figura A

Figura B

Ahora bien, los extremos de los intervalosseñalados son precisamente las soluciones de la ecuación: El intervalo .Estos puntos son: y .

es, entonces, el conjunto solución de la ecuación . Se trata de un conjunto contenido en . En el caso de la ecuación

se busca determinar todos los pares de números reales

,

que satisfacen la desigualdad. de números reales, es

Por esa razón, el conjunto solución está formado por pares ordenadosdecir, son puntos del plano cartesiano . En otras palabras, la representación gráfica del conjunto solución, en este caso, es una región del plano cartesiano. Para resolver la ecuación 2), es necesario conocer algunas propiedades del orden en los reales que son importantes: A. B. C. Si entonces , donde , y números reales cualesquiera, positivos o negativos. Si Si y y , entonces , entonces sonTomando éstas propiedades en cuenta, se pueden obtener inecuaciones equivalentes a la inecuación 2), a partir de ella:

es equivalente a:

Usando la propiedad a) y sumando a ambos miembros, se obtiene 2.1). Decir que 2.1) es equivalente a 2) significa que ambas ecuaciones tienen el mismo conjunto solución. Ahora se pueden sumar términos semejantes en 2.1) y sumar -1 en ambos miembros:

Si...