Inecuaciones Cuadraticas

Objetivo:
Presentar un trabajo de investigación capaz de dar a entender, o hacer comprensible el concepto de inecuación o desigualdad, y el proceso a seguir para solventarlas mediante los casos de factoreo.

Introducción:
En el presente trabajo, se conceptualiza el término, inecuación o desigualdad, así como se muestran métodos de factorización para la resolución de estas inecuaciones, talcomo el caso VI de factoreo usado para la resolución de desigualdades cuadráticas, y el caso V de factoreo usado para las inecuaciones racionales

Marco Teórico Conceptual:
Desigualdades o inecuaciones
Una desigualdad o inecuación es una expresión algebraica con una o más incógnita y que solo se demuestra para ciertos valores de las incógnitas

Desigualdades Cuadráticas
Se dice que unainecuación es cuadrática cuando podemos escribirla en la forma: ax2 + bx + c > 0 en donde los términos a, b, y c son constantes y a[pic]. Cabe mencionar que en estos casos los valores de x deben ser estrictamente positivos para satisfacer esta desigualdad. Por ejemplo: X (X-2) ≥ 3

Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales son aquellas, las cuales constan de una fracción racional o cocientede polinomio en cada uno de sus términos. Por ejemplo:
[pic]

Desarrollo Del Tema (Resultados)
Inecuación Racional
El proceso de solución es, en general. A grandes rasgos, se necesita convertir la inecuación a la forma [pic]donde [pic]es una fracción racional (la desigualdad podría ser también [pic], [pic]o [pic]), luego encontrar los ceros de los polinomios [pic]y [pic](los ceros de unpolinomio son los valores de la variable que hacen que el polinomio valga cero; por ejemplo, los ceros de [pic]son [pic]y [pic]), y finalmente determinar el signo de [pic]en cada intervalo entre dos ceros consecutivos así como a la izquierda del primero y a la derecha del último cero. Hecho a mano, este proceso es laborioso y propenso a errores.
En esta nueva serie presentaremos un programa decomputadora para resolver inecuaciones racionales.

Un ejemplo

En el ejemplo recién propuesto, empezamos por recoger todos los términos a la izquierda de la desigualdad:
[pic]
para entonces simplificar el lado izquierdo:
[pic]
Luego de este paso procedemos a factorizar el numerador y el denominador:
[pic]
Nuestro numerador no está completamente factorizado, ya que el segundo factor puededescomponerse como
[pic]
Pero como ninguno de esos nuevos factores aporta ceros, no obtenemos ninguna utilidad al factorizar el segundo paréntesis en el numerador. Otra manera de decir eso es que el factor
[pic]
por no tener ceros, no cambia de signo en [pic]y entonces no es necesario descomponerlo más.
Ahora vemos que los ceros del numerador y del denominador son [pic], [pic], [pic]y [pic], enorden de tamaño. El siguiente paso será determinar el signo de la fracción en cada uno de los intervalos [pic], [pic], [pic], [pic]y [pic]. Para eso hay varios métodos, de los que los más usuales son el mapa de signos y la tabla de signos.
 

Mapa de signos

Cuando se han determinado los ceros del numerador y del denominador, pueden encontrarse los signos a los lados de cada cero evaluando lafracción en cada intervalo. En realidad no es necesario encontrar el valor de la fracción sino solamente su signo; el signo que tenga en cualquier punto de un intervalo entre ceros será el mismo en cualquier otro punto del mismo intervalo.
Por ejemplo, en la inecuación [pic], donde los ceros son [pic]y [pic], empezamos por representar la recta real indicando los ceros:
[pic]
Luego buscamos unpunto de prueba en cada uno de los tres intervalos: a la izquierda de [pic], entre [pic]y [pic], y a la derecha de [pic]. En cada punto de prueba buscamos el signo de cada uno de los factores de la fracción.
Para empezar, a la izquierda de [pic]podemos escoger el punto de prueba [pic]. Buscamos los signos de los factores para [pic]y encontramos que [pic]es negativo y que [pic]es también...