Inferencia Estadistica

INFERENCIA
Dado un diagrama de dispersión con puntos (x1, y1),…… (Xn, yn), se puede calcular la pendiente, β̂1 y el intercepto β0 de la recta de mínimos cuadrados. Se consideran que estos son los estimadores de una pendiente verdadera β̂1 e intercepto β̂0. Ahora se explicara cómo usar estimadores para determinar intervalos de confianza y realizar pruebas de hipótesis respecto de los verdaderosvalores β̂1 y β̂0. Los métodos presentados para una media poblacional, basados en la distribución t de Student, se pueden adaptar fácilmente para este propósito.
Se ha visto que bajo los supuestos 1 al 4, β̂0 y β̂1 con medias β0 y β1, y desviaciones estándar que se han estimado por sβ0 y sβ1. Las cantidades (β̂0-β0)/sβ̂0 y (β̂1-β1)/sβ̂1 tienen distribución t de Student con n-2 grados de libertad.El número de grados de libertad es n-2 porque en cálculo de sβ̂0 y sβ̂1, se divide la suma de los residuos al cuadrado entre n-2. Cuando el tamaño muestral n es lo suficientemente grande, la distribución normal es casi indistinguible de la t de Student y se puede utilizar en su lugar. Sin embargo la mayoría de los paquetes de programas computacionales usan la distribución t de Student sinconsiderar el tamaño muestral.
En resumen las cantidades βo-β0sβ̂0 y β1-β1sβ̂1 tienen la distribución t de Student con n-2 grados de libertad.
Los intervalos de confianza para β̂0 y β̂1 se pueden deducir de la misma manera como los intervalos de confianza basados en la t de Student para una media poblacional. Sea tn-2,a/2 el punto en la curva t de Student con n-2 grados de libertad que lecorresponde un área de α/2 en la cola derecha.
Los intervalos con un nivel de confianza de 100(1- α) % para β0 y β1 están dados por
β0±tn-2,α2.sβ̂0
β1±tn-2,α2.sβ̂1
Dónde:

sβ0=s1n+x̄2i=1nxi-x2
sβ1=si=1nxi-x2

EJEMPLOS:
1.-El fabricante del resorte de los datos de la ley de Hooke afirma que la constante del resorte β1 es de al menos 0.23 pulg/lb. Se ha calculado que la constante del resorte esβ̂1=0.2046 pulg/lb. ¿Se puede concluir que la afirmación del fabricante es falsa?
Solución:
Esto último requiere de una prueba de hipótesis: La hipótesis nula y alternativa son
Ho: β1≥0.23 contra H1: β1˂0.23
La cantidad
β1-β1sβ̂1
Tiene la distribución t de Student con n-2=20-2= 18 grados de libertad. Bajo Ho se tiene que β1=0.23. Por tanto, el estadístico de prueba es,
β1-0.23sβ̂1
Que se hacalculado anteriormente β̂1=0.2046 y sβ̂1=0.0248. Por tanto, el valor del estadístico de prueba es
0.2046-0.230.0248= -1.024
Al consultar la tabla t de Student se encuentra que el P-valor se encuentra entre 0.10 y 0.25.
No se puede rechazar la afirmación del fabricante con base en estos datos.
La hipótesis nula más comúnmente probada es Ho: β1=0. Si esta hipótesis es verdadera, entonces no hayninguna tendencia de que y aumente o disminuya cuando x aumenta.
Esto implica que x y y no tienen ninguna relación lineal. En general, si la hipótesis de que β1=0 no es rechazada, no se debe utilizar el modelo lineal para pronosticar y a partir de x.

2.-La capacidad de una unión soldada de elongarse bajo tensión está afectada por el compuesto químico del metal de soldadura. En un experimentopara determinar el efecto del contenido de carbono (x) sobre la elongación (y) se elongaron 39 soldaduras hasta la fractura, y se midio tanto el contenido de carbono (en partes por mil) como la elongación (en %). Se calcularon los siguientes resúmenes estadísticos:
i=1nxi-x2=0.6561 i=1n(xi-x)(yi-y)=-3.9097 s=4.3313
Suponiendo que x y y siguen un modelo lineal, calculo el tiempo estimado en laelongación debido a un aumento de una parte por mil, en el contenido de carbono. ¿Se debe utilizar el modelo lineal para pronosticar la elongación del contenido de carbono?
Solución:
El modelo lineal es y=βo+β1x+ε, y el cambio de la elongación (y) debido a una parte por mil aumentada en el contenido de carbono (x) es β1. Las hipótesis nula y alternativa son
Ho: β1=0 contra H1: β1≠ 0
La...