Inferencia Estadistica

ESTADÍSTICA GENERAL


Introducción
La Inferencia Estadística es el proceso por el cual se infieren propiedades o características de una población a partir de una muestra significativa. Uno de los aspectos principales es la estimación de parámetros estadísticos. Por ejemplo, para averiguar la media, µ, de las estaturas de todos los soldados de un reemplazo, se extrae una muestra y seobtiene su media. La media de la muestra (media muestral), es un estimador de la media poblacional, µ. Si el proceso de muestreo está bien realizado (es decir, la muestra tiene el tamaño adecuado y ha sido seleccionada aleatoriamente), entonces el valor de µ, desconocido, puede ser inferido.
La inferencia siempre se realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza. Sise quiere mejorar el nivel de confianza, se deberá aumentar el tamaño de la muestra, o bien disminuir la precisión de la estimación dando un tramo más amplio que el formado por el de extremos 171, 173. Recíprocamente, si se quiere aumentar la precisión en la estimación disminuyendo el tamaño del intervalo, entonces hay que aumentar el tamaño de la muestra o bien consentir un nivel de confianzamenor. Finalmente, si se quiere mejorar tanto la precisión como el nivel de confianza, hay que tomar una muestra suficientemente grande.
Estimación de Parámetros


En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación dela media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.


Se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:

1. Estimación puntual: consiste en la estimación del valor del parámetro mediante un solovalor, obtenido mediante una fórmula determinada. Ejemplo: si se pretende estimar la talla media de un determinado grupo de individuos, puede extraerse una muestra y ofrecer como estimación puntual la talla media de los individuos. Sea X una variable poblacional con distribución Fθ , siendo θ desconocido. El problema de estimación puntual consiste en, seleccionada una muestra X1, ..., Xn, encontrarel estadístico T(X1, ..., Xn) que mejor estime el parámetro θ. Una vez observada o realizada la muestra, con valores x1, ..., xn, se obtiene la estimación puntual de θ, T(x1, ..., xn) = ˆ θ . Vemos a continuación dos métodos para obtener la estimación puntual de un parámetro: método de los momentos y método de máxima verosimilitud.

• Método de los momentos: consiste en igualar momentospoblacionales a momentos muestrales. Deberemos tener tantas igualdades como parámetros a estimar. Momento poblacional de orden r αr = E(Xr ) Momento muestral de orden r ar = Xn i=1 Xr i n

• Método de máxima verosimilitud: consiste en tomar como valor del parámetro aquel que maximice la probabilidad de que ocurra la muestra observada. Si X1, ..., Xn es una muestra seleccionada de una poblacióncon distribución Fθ o densidad fθ(x), la probabilidad de que ocurra una realización x1, ..., xn viene dada por: Lθ(x1, ..., xn) = Yn i=1 fθ(xi ) A Lθ(x1, ..., xn) se le llama función de verosimilitud. (credibilidad de la muestra observada).

Buscamos entonces el valor de θ que maximice la función de verosimilud, y al valor obtenido se le llama estimación por máxima verosimilitud deθ. Nota: si la variable X es discreta, en lugar de fθ(xi ) consideramos la función masa de probabilidad pθ(xi ). Ejemplo: Sea X → N(µ, σ), con µ desconocido, seleccionada una m.a.s. X1, ..., Xn, con realización x1, ..., xn, estimamos el parámetro µ por ambos métodos. Según el método de los momentos: E(X) = Xn i=1 Xi n = − X, y al ser µ = E(X) se obtiene que ˆ µ = − x. Por el método de máxima...