Inferencia multivariada

Tarea de Inferencia Multivariada Ejercios: capitulo 6, de el libro de RENCHER Por: Claudia Catalina Chac´n Cod.:161992 o

1. Show that Wilks’Λ can be expressed in terms of the eigenvalues of E −1 H as in (6.14). Demostraci´n: Se tiene que o |E −1 1||E| |E −1 E| = −1 |E −1 ||E + H| |E (E + H)| |I| = |I + E −1 H| 1 = s (1 + λi ) i=1

por lo tanto

|E| |E+H|

=

Qs

1

i=1 (1+λi )

.2. Show that F3 in (6.27) is the same as F1 in (6.25). Demostraci´n: Se sabe que 2N +s+1 = vE −p+s ,con N = 1 (vE − p + s)m = 1 (|vH − p| − 1), o 2m+s+1 d 2 2 d = max(p, vH ),y s = min(p, vH ), entonces 1 2N + s + 1 = 2( )(v − E − p − 1) + s + 1 2 = vE − p − 1 + s + 1 = vE − p + s. y para 2m + s + 1 1 2m + s + 1 = 2( (|vH − p| − 1) + s + 1 = |vH − p| + s. 2 suponemos que vH > p entonces |vH −p| + s = vH − p + p = vH = d. ahora, si, vH < p, entonces |vH − p| + s = p − vH + vH = p = d.

1

3. Show that if there is only one nonzero eigenvalue λ1 , then U (1) , V (1) , and Λ can be expressed in terms of θ, as in (6.34).(6.36). Demostraci´n: Cuando s = 1 tenemos las siguientes estadisticas o V (1) = λ1 , 1 + λ1 U (1) = λ1 ,
θ 1−θ , θ 1−θ

Λ= se obtiene: =
θ 1−θ 1−θ+θ 1−θ

1 , 1+ λ1

θ=

1 1 + λ1

ahora reemplazamos λ1 dado que λ1 = V
(1)

=

1+

θ 1−θ

=

θ =θ 1

U (1) = λ1 =

θ 1−θ

Λ=

1 1 1 = = = 1 − θ. θ 1−θ+θ 1 + λ1 1 + 1−θ 1 + 1−θ

4. Verify the computational forms of H and E in (6.32) and (6.33); that is, show that a) − y..)(y i − y..) = k yi .yi . /ni − y..y.. /N, i=1 Demostraci´n: Con y i . = yi ./ni and y.. = y../N ,obtenemos, o
k ki=1 ni (y i

H=
i=1

ni (y i . − y..)(y i . − y..) ni (y i .y i . − y i .y.. − y..y i . + y..y ..)
i

= =
i

ni (y i .y i . − (
i

ni y i .)y.. − y..
i

ni y i . + y..y ..
i

ni )

=
i

( (yi .yi . ni − 2 ni (yi .yi . y..y.. − ni N

y.. i ni yi .)y.. − N N

i

N y..y .. yi . + N2

=
i

2

b)

ni k − y i .)(yij − yi.) = k i=1 j=1 yij yij − i=1 yi .yi . /niDemostraci´n: Con y i . = yi ./ni and y.. = y../N ,obtenemos, o k i=1 ni j=1 (yij k ni

E=
i=1 j=1 k ni

(yij − y i .)(yij − yi.)

=
i=1 j=1 k ni

yij .y i . − yij .y i . − y i .yij + y i y i )
k

=
i=1 j=1 k ni

yij .y i . − 2
i=1 k

yi .yi . + ni

k i=1

yi .yi ni

=
i=1 j=1

yij yij −
i=1

yi .yi . . ni

5. Show that θ can be expressed as θ = SSH(z) /[SSE(z) +SSH(z) ] as in (6.42). Demostraci´n: Sea SSH = n o entonces,
k i=1 (z i .

− z..)2 y SSE =
SSH(z)

k ij (z ij .

− z i .)2 , donde λ1 =

SSH(z) SSE(z) ,

λ1 SSH(z) SSE(z) θ= = = SSH(z) 1 + λ1 SSE(z) + SSH(z) 1 + SSE(z)

6. Show that the F-approximation based on AP in (6.50) reduces to (6.26) if AP = V (s) /s, as in (6.49). Demostraci´n: o AP = V (s) /s con esta ecuaci´n sustituimos APen la ecuacion F2 = (1−AP AP /pvH H +s) y o )/s(vE −v

3

obtenemos F2 = = = = = AP /pvH (1 − AP )/s(vE − vH + s) (V (s) /s)/pvH (1 − (V (s) /s))/s(vE − vH + s) V (s) /spvH (s − V (s) )/s)/s(vE − vH + s) V (s) /spvH (s − V (s) )/s2 (vE − vH + s) s(vE − vH + s)V (s) . pvH (s − V (s) )

7. Show that the F-approximation denoted by F3 in (6.31) is equivalent to (6.52). Demostraci´n: o ALH ALH= U (s) /s+U (s) con esta ecuaci´n sustituimos ALH en la ecuacion F3 = (1−ALH )/[s(v/pvHH −1)+1] o E −v y obtenemos F2 = = = = = ALH /pvH (1 − ALH )/[s(vE − vH − 1) + 1 (U (s) /(s + U (s) ))/pvH (1 − (U (s) /(s + U (s) ))/[s(vE − vH − 1) + 1] U (s) /(s + U (s) )pvH (s + U (s) − U (s) )/(s + U (s) )/[s(vE − vH − 1) + 1] U (s) /(s + U (s) )pvH s/(s + U (s) )[s(vE − vH − 1) + 1] U (s) [s(vE − vH − 1)+ 1] spvH

4

8. If zij = Cyij , where C is (p − 1)xp, show that Hz = CHC and Ez = CEC ,as used in (6.79). Demostraci´n: Utilizando que H = k ni (y i . − y..)(y i . − y..) hacemos, o i=1
k

Hz = n
i=1

(z i . − z..)(z i . − z..) (Cyi . − Cy..)(Cyi . − Cy..)
i

=n =n
i

[C(yi . − y..)][C(yi . − y..)] (yi. − y..)(yi. − y..)] ]C
i s i=1 (1 2 − ri ). Por lo tanto

= nC[

donde...