informe de analisis matematico

Función estrictamente creciente




Función creciente




Función estrictamente decreciente




Función decreciente




Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es derivable en a:


Decrecimiento
Si f es derivable en a:

Crecimiento
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimientoEstudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos dediscontinuidad (si los hubiese).

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = −2, por ejemplo.
f'(−2) = 3(−2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f'(0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo(1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f'(2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1)  (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
Ejemplo











Máximos y mínimos
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f'(a) = 0.
2. Si f''(a) ≠ 0.
Máximos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un máximorelativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Mínimos locales
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Cálculo de máximos y mínimos
Estudiar los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) =3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(1,0)




Criterio de concavidad y convexidad
Hemos tomado el criterio de que el valle tiene forma convexa y la montaña forma cóncava.
Es posible encotrar textos en los que se define la concavidad y la convexidad de manera opuesta, usando el criterio de que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
Pero esta definición que damos no sólo alude a un criterio visual que puede serconfuso desde el punto de vista del observador, sino que podemos dar una definición más precisa:
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntoscualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Intervalos de concavidad y convexidad
Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la función:
f(x) = x3 − 3x + 2
Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
 1  Hallamos la derivada segunda y calculamos susraíces.
f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.
 2  Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
 
 3  Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f''(x) > 0 es convexa.
Si f''(x) < 0 es cóncava.
Del intervalo (−∞, 0) tomamos x = −1, por ejemplo.
f''(−1) = 6 (−1) < 0 Cóncava....