Ing Civil

Astrona´utica, 2009/2010
El teorema de Lambert: diferenciar las soluciones En el Tema 2 de teor´ıa se estudia el teorema de Lambert, que ofrece una fo´ rmula para encontrar el tiempo de vuelo entre dos tiempos de una co´ nica. No obstante, el teorema arroja mu´ ltiples soluciones
y no se especifica cual se deber´ıa escoger.

Estas notas complementan el teorema explicando un me´todo paradistinguir entre las posibles solu- ciones. Se estudian todos los casos (el´ıptico, parabo´ lico, hiperbo´ lico) y se ofrece un procedimiento claro de seleccio´ n de soluciones.



1. Datos iniciales


El teorema de Lambert requiere los siguientes datos iniciales:


1. Radio del punto inicial (medido desde el foco): rA .

2. Radio del punto final (medido desde el foco): rB.
3. Diferencia de anomal´ıa verdadera entre los dos puntos: ∆θ = θB − θA .

4. Semieje mayor de la elipse: a (para el caso parabo´ lico, para´metro de la para´bola p).

Tambie´n se supone conocido el para´metro gravitacional µ. A partir de los datos anteriores se calcula:

1. Suma de los radios s = rA + rB .
2. Cuerda entre los puntos final e inicial: c = pr2 + r2− 2rA rB cos ∆θ.
A B

En el caso parabo´ lico e hiperbo´ lico, estos datos son suficientes para poder diferenciar soluciones. En el caso el´ıptico, ser´ıa necesario algu´ n dato ma´s, como ya veremos.



2. Elipse


En el caso el´ıptico, segu´ n la teor´ıa es necesario calcular α y β de las ecuaciones:s + c
cos α = 1 −

cos β = 1 −

2a
s − c
2a
A partir de estos valores, y usando n = p µ , el tiempo de vuelo viene dado por
(α − sen α) − (β − sen β)
tv = n .

El problema surge porque existen varias posibles soluciones a las ecuaciones de α y β, concretamente, si α1 y β1 son las soluciones entre 0o y180o , entonces los siguientes pares dan soluciones diferentes:

|α2 |= |2π − α1, β2 = −β1, |
|α3 |= |α1, β3 = −β1 , |
|α4 |= |2π − α1, β4 = β1. |

1













Figura 1: Las dos soluciones del teorema de Lambert el´ıptico.B


'
B
B
A
'
'
µ '
B ¢µ
A
F' µA O F













Figura 2: Las dos soluciones del teorema de Lambert el´ıptico.


¿Co´mo diferenciar entre estas dos soluciones? El sentido f´ısico de estas soluciones surge de que hay dos elipses que geome´tricamente pueden pasar por A y B con los datos del problema, tal como se ve en la figura 1. Las soluciones 1 y 2 corresponden a una de las elipses, recorrida en un sentido de A a B o en el otro, e igualmente las 3 y 4 corresponden a la otra elipse.

La u´ nica forma dediferenciar estas elipses es empleando datos adicionales, si se conocen. Es necesa-
rio calcular el a´ngulo de los puntos A y B pero medidos desde el foco vac´ıo, que llamamos θ0
y θ0 ,
tal como se muestra en la figura 2. Realmente nos interesa calcular ∆θ0 = θ0
− θ0 .

Por las propiedades geome´tricas de la elipse, se tiene que r0
= 2a − rA , r0
= 2a − rB . Por otroa´ngulo formado por rA , r0
y el segmento entre focos,
lado, el teorema del seno se puede aplicar al tri A
hallando:



e igualmente
sen θ0
rA


sen θ0
rA
sen(180o − θA )
0
A

sen(180o − θA )
0
A
= sen θA ,
0
A


= sen θA .
0
A



2
Igualmente,

s...