Ing. Elec

Flujo Potencial Campo de velocidades se puede representar mediante una función potencial φ, escalar Condición necesaria flujo irrotacional, ∇×V=0.

Hipótesis: Flujo irrotacional, incompresible y permanente y bidimensional.

Ecuación de Euler + ∇×V=0

Ecuación de Bernoulli

Flujo fuera de la zona de altos gradientes de velocidades se puede aproximar a un flujo potencial •Flujo alrededorde cuerpos

•Flujo a la entrada de ductos

1. Función Potencial φ Condición de irrotacionalidad ∇×V=0. Cada componente escalar del rotor debe ser igual a cero

Las componentes de la velocidad se pueden expresar mediante una función escalar φ(x,y,z) tal que:

Que satisface la relación ∇×V=0

Reemplazando en la ecuación de continuidad

Ecuación de Laplace Ecuación de Laplace: ecuaciónen derivadas parciales lineal si φ1 y φ2 representan dos campos de velocidades de dos flujos potenciales distintos, entonces φ3= φ1+φ2 será también un flujo potencial y se cumplirá, por lo tanto, ∇2φ3=0. Se pueden superponer distintos flujos potenciales para generar otros.

2. Función de corriente Ψ Ecuación de continuidad para un flujo incompresible: ∇·V=0. Flujo bidimensional y sistemacoordenado cartesiano

Las componentes de la velocidad se pueden expresar mediante una función escalar Ψ(x,y,z) tal que:

Reemplazando

Función de corriente satisface también la ecuación de Laplace. Líneas de corriente son los puntos o líneas del flujo para los cuales la función de corriente es constante dΨ=0

Relación usada para definir una línea de corriente.

Aplicando continuidad al flujoentro dos líneas de corriente

Expresando las componentes de la velocidad en función de la función de corriente

Integrando

El caudal (por u. de profundidad) que pasa entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia del valor de la función de corriente asociada.

Pendiente de una línea de corriente en un punto cualquiera:

Pendiente de las líneas equipotenciales (φ=cte) seobtiende de dφ=0

Expresando las componentes de la velocidad en función de la función potencial

Multiplicando ambas pendientes:

Las líneas de corriente y las equipotenciales se intersectan formando un ángulo recto. Esta condición se utiliza para representar un flujo gráficamente mediante una malla.

3. Circulación Γ Se define como la integral de línea, sobre una curva cerrada, de lacomponente tangencial de la velocidad a lo largo de la curva:

Teorema de Stokes:

En un flujo irrotacional no existe circulación. Veremos que la circulación esta asociada a la sustentación.

4. Flujos Simples Se verá la representación mediante la función potencial y de corriente de algunos flujos bidimensionales sencillos. 4.1 Flujo uniforme Flujo uniforme con velocidad constante U paralelo aleje x Vx=U; Vy=0

Integrando: C: cte arbitraria C=0

Líneas de corriente:

Flujo inclinado c/r al eje x

4.2 Fuente / Sumidero Flujo radial uniforme a partir de (fuente) o hacia (sumidero) un punto. Si q es el caudal, por unidad de profundidad

Flujo radial

Integrando

q: Intensidad de la fuente o sumidero. q positivo negativo fuente.

fuente;

4.3 Vórtice libre o irrotacionalFlujo tal que las partículas se mueven en círculos concéntricos.

K es una constante. La velocidad Vθ se obtiene de:

Se puede demostrar que K=Γ/2π, donde Γ es la circulación sobre una curva que encierra el origen.

4.4 Doblete Se llama doblete a la combinación de una fuente y un sumidero de igual intensidad separados por una distancia infinitesimal. Fuente
Ψ= q θ2 2π q θ1 2π q (θ1 − θ 2) 2π

Sumidero
Ψ=−

Combinación
Ψ=−

Se debe expresar la función anterior en función del ángulo θ y el radio r (origen del sistema coordenado)

Para valores pequeños de a se obtiene

Doblete: a 0 y q ∞ tal que el producto (qa/π) sea constante:

k=qa/π: intensidad del doblete. Función potencial:

5. Superposición de flujos Funciones potencial y de corriente satisfacen ecuación...