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La Transformada Z

Asignaturas: Análisis de Sistemas y Señales Control Digital

M.I. Ricardo Garibay Jiménez Mayo 1997

TEMA 8. TRANSFORMADA Z 8.1 DEFINICIÓN Y RELACIÓN CON LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO. Como se ha mencionado en los temas anteriores, la transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación y análisis de señales y sistemasdiscretos. Una generalización de ella es la transformada Z. El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales. Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación,expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier. Anteriormente se definió la transformada de Fourier de una secuencia x(k ) como:
x(Ω ) = X (e jω ) =
k= − ∞

∑

∞

x (k )e −jω k

(8.1)

La transformada de la misma secuencia se define como:
X (z) =

k= − ∞

∑

∞

x(k ) z − k

(8.2)

La ec. 8.2 es un operador que transforma una secuencia en una función de la variable compleja continua z . Genéricamente:
Z [ x(k ) ] = X ( z ) =

k= − ∞

∑

∞

x(k ) z − k

(8.3)

La correspondencia entre una secuencia y su transformada se denota como:
x(k) ↔ X ( z )

Es importante destacar que existe una relación muy cercana entre la transformada de Fourier y la transformada Z; en particular, si se observa la sustitución de la variable compleja e jω por la variable compleja z . Cuando existe, la transformada de Fourier es simplemente X ( z ) con z = e jω . La transformada de Fourier es la transformada Z tomando Z = 1 . Si tomamos z = re jω , laec. 8.2 resulta:
X (re jω ) =

k= − ∞

∑
∞

∞

x(k )(re jω ) − k

(8.4) (8.5)

X (re jω ) =

k= − ∞

∑

x(k )(r − k )e − jω k

La ecuación 8.5 se interpreta como la transformada de Fourier del producto x(k ) con la secuencia r − k . Obviamente si r = 1 , la ecuación 8.5 se reduce a la transformada de Fourier de x(k ) . La descripción e interpretación de la transformada en elplano complejo permite una más amplia visualización de la relación entre ambas transformadas.

Círculo unitario

Im
Z = e jω
Plano Z
ω

1

Re

Figura 8.1

La región del plano en donde z = 1 corresponde a una circunferencia de radio igual a uno, la circunferencia unitaria. La transformada X ( z ) evaluada en los puntos de dicha circunferencia es la transformada de Fourier X (e jω ). Iniciando la transformada de Fourier X (e jω ) , en ω = 0, z= 1 , siguiendo por
ω = π , z= j, hasta ω = π , z= -1 , se obtiene X (e jω ) para 0 ≤ ω ≤ π . 2

8.2 REGIÓN DE CONVERGENCIA. Anteriormente se mencionó que la transformada de Fourier no siempre converge para todas las secuencias; es decir, la sumatoria infinita puede no siempre resultar finita. Similarmente, la transformada Z noconverge para todas las secuencias ni para todos los valores de z . Para una secuencia dada, el conjunto de valores en el cual la transformada converge es llamada Región de Convergencia. La región de convergencia de la transformada de Fourier requiere que la secuencia sea absolutamente sumable; lo cual, si se aplica a la ecuación 8.5 se puede expresar como:

k= − ∞

∑

∞

x(k )r − k p ∞(8.6)

De esta última expresión es claro que, debido al término r − k , la transformada Z converge aun si la transformada de Fourier de la secuencia x(k ) no lo hace. Así, una secuencia escalón unitario x(k ) = s (k ) no es absolutamente sumable, por lo que la transformada de Fourier no converge. Sin embargo, r − k s (k ) es absolutamente sumable si r f 1 . Esto significa que la transformada Z...