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CAPÍTULO

3
Límite de una función

1

OBJETIVOS PARTICULARES 1. Comprender el concepto de límite de una función en un punto. 2. Calcular, en caso de que exista, el límite de una función mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos. 3. Comprender la noción de límites laterales (de una función en un punto) y su relación con el concepto de límite (de una función). 4.Determinar la existencia o la no existencia del límite de una función, vía la existencia y la comparación de los límites laterales. 5. Comprender la noción de límites infinitos de una función. 6. Determinar los limites infinitos de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos. 7. Comprender la noción de asíntota vertical de una función. 8. Calcular las asíntotas verticales deuna función. 9. Comprender la noción de límites en infinito de una función. 10. Determinar los límites en infinito de una función, mediante la aplicación de reglas y procedimientos algebraicos. 11. Comprender la noción de asíntota horizontal de una función. 12. Calcular las asíntotas horizontales de una función.
1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

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2

Cálculo Diferencial e Integral I 13.Bosquejar la gráfica de una función considerando su comportamiento asintótico. 14. Determinar el límite de una función de ciertos puntos a partir de su gráfica.

3.1 Introducción
Supongamos que x0 2 .a; b/ y que tenemos una función f tal que su dominio Df contiene al intervalo .a; b/ con excepción posiblemente de x0 ; el hecho de que la función f .x/ esté o no definida en x0 es irrelevante. Decimosque el límite de la función y D f .x/, cuando x tiende a x0 , es el número real ˛ si para números x 2 .a; b/ suficientemente próximos a x0 las imágenes correspondientes f .x/ están tan próximas a ˛ como queramos. Si esto sucede, se dice que el límite de f .x/ en x0 existe y es igual a ˛. Esto lo denotamos así:
x!x0

lím f .x/ D ˛

lo que se lee como: el límite de f .x/ cuando x tiende a x0 es˛. Algunos autores escriben: f .x/ ! ˛ cuando x ! x0 : Es bastante claro que, en caso de existir, el límite de una función f es único.
y f .x/ próximo a ˛ f .x0 / no definido
© ¡¢ ¥¦

y f .x/ próximo a f .x0 /


y f .x/ próximo a ˛ ˛ ¤ f .x0 /
 

x próximo a x0 x ¤ x0
©

x próximo a x0

a x0 b

a x0 b

a x0 b

Ejemplo 3.1.1 La función f .x/ D
x!2

3x 2

lím f .x/?7x C 2 no está definida en x0 D 2. ¿Qué se puede decir acerca de x 2

H Observemos que x D 2 es raíz del numerador, por tanto x efectuando la división, obtenemos 3x 2 7x C 2 D .3x 1/.x 2/. f .x/ D 3x 2 7x C 2 .3x 1/.x D x 2 x 2 2/

2 es factor de 3x 2

D 3x

1:

Podemos cancelar el factor x 2 ya que x 2 ¤ 0 (pues x ¤ 2). Luego, damos valores a x cada vez más cerca de x0 D 2 (pero sinllegar a x D 2) y obtenemos las imágenes f .x/ correspondientes. 2



x
£¤

x



f .x0 /



©

˛

˛ D f .x0 /

˛



¨

§  

x próximo a x0

x

7x C 2 y,

3.1 Introducción x 1:8 1:9 1:99 1:999 1:9999 f .x/ D 3x 4:4 4:7 4:97 4:997 4:9997 1 x 2:2 2:1 2:01 2:001 2:0001 f .x/ D 3x 5:6 5:3 5:03 5:003 5:0003 1

3

1:99999 4:99997 # 2 # 5

2:00001 5:00003 # 2 # 5Finalmente observamos que a medida que la variable x toma valores cada vez más cercanos al número x0 D 2, las imágenes correspondientes tienen valores cada vez más cerca al número ˛ D 5. Podemos decir entonces que lím f .x/ D 5.
x!2

Nótese que jf .x/ 5j ! 0 cuando jx Gráficamente se tiene:

2j ! 0.
y

x0 D 2

Ejemplo 3.1.2 Dada la función g.x/ D ¿qué se puede decir acerca de lím g.x/?x!2

3x 4

1

si x ¤ 2I si x D 2I

H En este caso se tiene que x0 D 2 y debemos ver el comportamiento de las imágenes g.x/ cuando x ! 2; es decir, cuando x toma valores cada vez más cercanos al número x0 D 2.

 

!

˛D5

y D f .x/ D 3x

1

x

3

4
y

Cálculo Diferencial e Integral I

x0 D 2

Notamos que para x ¤ 2, la función g.x/ D 3x
x!2

7x C 2 del x 2...
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