Ingeniería de ejecución en informática

Ing. Jorge Loyola Ch.

Funciones
Función.
f ⊂ A× B f es función ssi Dom f = A ∧

[ (x, y )∈ f

∧ ( x, z )∈ f ⇒ y = z ]

Ejemplo:
f : IR → IR x → f (x ) = 2 x + 3 ¿es f función? i. Si x ∈ IR; ∃ f ( x ) ∈ IR, 2 x + 3 ∈ IR; ∀ x ∈ IR, ii. ( x, s ) ∈ f ⇒ 2 x + 3 = s ( x, z ) ∈ f ⇒ x = z − 3 2

Dom f = IR

⇒

s−3 z−3 = 2 2

/ ⋅2
/ +3

⇒s−3 = z−3

⇒ s = z Se cumplen ambascondiciones entonces f es función.
Una función de X a Y es una relación entre X e Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina “variable independiente”, mientras que la variable y se denomina “variable dependiente”. Ejemplo: El área de un círculo es una función de su radio, A = π r 2 se

Sea f : A →B función y sea x ∈ A; entonces el único elemento y ∈ B tal que ( x, y ) ∈ f llama imagen de x por f y se anota por y = f ( x ) . Ejemplo: Sea f : IR → IR tal que f ( x ) = 3x + 5

La imagen de 2 es 11. La imagen de b es 3b + 5 La imagen de x + 2 es 3x + 11 El conjunto A lo llamaremos Dominio de la función f y al conjunto B Codominio de la función f. Si f : A → B es una función, entonces elconjunto de todos los elementos de B, que aparecen como segundas componentes en los pares ordenados de f, se llama Rango o Recorrido de la función f, y se denota por Rec f (Rec f ⊆ B).

Ing. Jorge Loyola Ch. Ejemplo. Sean f = ( x, y ) ∈ IR × IR / y = x 2 g = ( x, y ) ∈ IR × IR / x = y 2

{ {

} }
f (x + h ) − f (x ) . h

Determine cual de estas relaciones es una función y calcule f : IR → IRtal que

y = x2

Dom f = IR Si ( x, y ) ∈ f ⇒ y = f ( x ) ⇒ y = x 2 Si (x, z ) ∈ f ⇒ z = f ( x ) ⇒ z = x 2 ⇒ y=z
∴ f es una función

Observación.

Si se traza una paralela al eje de la ordenada y corta en un solo punto a la curva es función.

-

g : IR → IR tal que y = ± x Dom g = IR0+ ≠ IR ∴ g no es una función

Observación.

¿Bajo que condiciones g se transforma en función?
g: IR0+ → IR tal que y=+ x ∨ y=− x

(restricción para g).

-

f (x + h ) − f (x ) (x + h ) − x 2 x 2 + 2hx + h 2 − x 2 2hx + h 2 h (2 x + h ) = = = = = 2x + h h h h h h
2

Función Lineal (recta). Definición

f ( x ) = ax + b,

a, b∈ IR

Función constante. Llamaremos función constante a: f : A → B tal que f ( x ) = k ; ∀ x ∈ A, k ∈ B fijo Es decir, la función constante hacecorresponder a cada elemento del Dom, una sola imagen. Función Cuadrática (parábola). Definición

f ( x ) = ax 2 + bx + c,

a, b y c ∈ IR ∧ a ≠ 0

Ing. Jorge Loyola Ch. Función Logarítmica. Definición

f ( x ) = Logb ( x ) ,

b∈ IR ∧ b ≠1, x > 0

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base b ≠ 1 , denotada por y = Logb x , se llama función logarítmica debase b y el número Logb x se llama logaritmo de x en la base b . Función Exponencial. Definición

f ( x) = ax ,

a >0

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de base a y exponente x.

Función Valor Absoluto. Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:

Ejemplos12 = 12,

−7 = 7,

0 =0

Función inyectiva ó 1-1. Definición Sea
f :A→B

función,

diremos que

f

es inyectiva

si

y

sólo

si

f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b,

∀ a, b ∈ A

Función epiyectiva ó sobreyectiva. Definición Sea
f :A→B

función,

diremos que

f

es epiyectiva

si

y

sólo

si

f ( A) = B ⇔

∀ y ∈ B; ∃ x ∈ A; y = f ( x )

Funciónbiyectiva. Definición Sea f : A → B función, diremos que 1. f es inyectiva 2. f es epiyectiva f es biyectiva si y sólo si

Ing. Jorge Loyola Ch. Función inversa. Definición.
f :A→B

= {( x, y ) ∈ B × A / ( y, x ) ∈ f } Observación. En general la inversa de una función es una relación, pero no una función. f
−1

Sea

una función, llamaremos la inversa de la función f a:

Teorema.

Sea f...