Ingeniería Petrolera

CURVAS EN EL PLANO POLAR

TEMA : CURVAS EN EL PLANO POLAR

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CURVAS EN EL PLANO POLAR

* SISTEMA DE COORDENADAS POLARES.

Nota: El ángulo  se puede trabajar en grados sexagesimales ó radianes (  radianes = 180 ° )
pero es preferible su manejo en radianes.
* Ejercicio. Ubicación de puntos en coordenadas polares
A( 4 , /6 )

B( 6 , /3 )

C( 2 , 3/2 )

D( - 4 , 2/3 ) E( 4, - 11/6) F( - 4 , 7/6 ) G( - 4 , - 5/6 )

Como se observa en el esquema, muchas posibles coordenadas sirven a un mismo lugar geométrico en el
sistema polar

Por esa razón se acostumbra tomar a

r ≥ 0

y

2

0 ≤  ≤ 2

CURVAS EN EL PLANO POLAR

* Ecuaciones de transformación de sistema cartesiano a sistema polar y viceversa

x = r cos 
y = r sen 



 = ang tan( y/x )
r = √ x2 + y2

* Ejercicio: Transforme los siguientes puntos en coordenadas polares a coordenadas cartesianas.
A( 3 , /3 )

B( 4 , 2/3 )

C( 5 , 4/3 ) D( 2 , 5/3 ) E( 6 , /2 )

F( 0 , 11/6 )

* Ejercicio: Transforme los siguientes puntos en coordenadas cartesianas a coordenadas polares.
A( 3 , - 4 )

B( 5 , 6 )

C( - 3 , 4 )

D( - 5 , - 6 )

* Ejercicio:Transforme las siguientes ecuaciones polares a cartesianas.
r =

3
5 + sen 

r = 6 sen 

r =

2
4 – 6 cos 

r =

4
cos 

r =

4
2 – 2 sen 

r = 8

* Ejercicio: Transforme las siguientes ecuaciones cartesianas a polares.
x2 + y2 + 7x – 9y + 4 = 0

x2 + 3x – 2y + 1 = 0

3

 = 5 / 4

CURVAS EN EL PLANO POLAR

* Distancia entre dos puntos en coordenadas polares.Usando la ley de los cosenos en el triángulo

d = √ r12 + r22 – 2 r1 r2 cos ( 2 – 1 )

* Ejercicio: Determine la distancia entre los puntos A( 4 , /6 ) y B( 7 , 2/5 )

* Ecuación General Polar de una Recta.

En toda recta L existe un punto N( p ,  ), que es el
más cercano de la recta al polo, y por lo tanto el
radio p es perpendicular a la recta L, de donde:
cos (  –  ) = p
rentonces

4

r =

p
cos

CURVAS EN EL PLANO POLAR

* Ecuación polar de una recta que contiene al polo

Este es un caso particular, ya que
el punto N( p ,  ) no tiene su
dirección definida por estar en el
Polo.

=c

Entonces, lo que se hace es
definir a la recta por su ángulo de
inclinación, el cual es el mismo
para cualquier punto sobre la
recta.

donde ces constante

* Ecuación polar de una recta Horizontal
Del esquema  = 90° por lo que
cos (  –  ) = cos (  – 90° ) = sen 
y el valor de p es

p = r1 sen 1

Entonces, al sustituir en la ecuación general de la
recta
r = r1 sen 1 =
p
sen 
sen 

donde p = constante

Nota: Si p es positivo, la recta está por arriba del eje polar, y si es negativo está por debajo del eje polar.5

CURVAS EN EL PLANO POLAR

* Ecuación polar de una recta Vertical

Del esquema  = 0° y p es p = r1 cos 1
Entonces, al sustituir en la ecuación general de la
recta
r = r1 cos 1 =
cos 

p
cos 

donde p = constante
Nota: Si p es positivo, la recta esta a la derecha del polo, y si es negativo esta a la izquierda del polo

* Ejercicio: Determine la ecuación polar de unarecta:
a) Si tiene como punto Normal a N( 3 , /6 )
b) Si contiene a los puntos A( 0 , 0 ) y B( 7 , 2/3 )
c) Si es horizontal y contiene al punto P( 5 , 5/3 )
d) Si es vertical y contiene al punto P( 6 , 5/6 )
Ejercicio: Dibuje la gráfica de las siguientes rectas en coordenadas polares.
r =

3
cos 

r =

-4
3 sen 

r =

r =

4
cos (  – 5/4 )

r =

5
cos (  – 2/3 ) = 
9

6

4
cos (  – /4 )

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* Ecuación Polar de una Circunferencia
La circunferencia tiene centro en C( c ,  )
tiene radio a.

y

Un punto cualquiera de la circunferencia
tiene coordenadas P( r ,  )
Del triángulo que se forma con el POLO, el
centro C y el punto P, y aplicando la ley de los
cosenos, obtenemos:
r2 + c2 – 2rc cos (  –  ) =...