Ingenieria Civil

TRANSFORMACIONES LINEALES
6.1 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y otras ramas de matemáticas, tienen una gran variedad deaplicaciones importantes.
DEFINICIÓN
Transformación lineal.- Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v [pic]
V un vector únicoTv [pic]
W y que satisface para cada u y v en V y cada escalar,
T (u + v) = Tu + Tv
y
T([pic]
v) = [pic]
Tv
Terminología. Las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadoreslineales.
EJEMPLOS
La transformación cero.- Sean V yW espacios vectoriales y defina T:V W por Tv= 0 para todo v en V. Entonces T(v1 + v2) = 0= 0 + 0= Tv1 + Tv2 y t ([pic]
v) = 0=[pic]
0= [pic]
Tv. Eneste caso T se llama la transformación cero.
La transformación identidad.- Sea V un espacio vectorial y defina I: V V por Iv= v para todo v en V. Aquí es obvio que I es una transformación lineal, lacual se llama transformación identidad u operador identidad.
Transformación dee reflexión.- Sea T: R2 R2 definida por T = . Es sencillo verificar T es lineal. Geométricamente , T toma un vector enR2 y lo refleja respecto al eje y.
6.2 IMAGEN Y NÚCLEO
DEFINICIÓN
Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal.
Entonces
• El núcleo de T, denotado por un T , estadado por
Un T= v[pic]
V: Tv = 0
• La imagen de T, denotado por imagen T, está dada por
Imagen T = w [pic]
W: w = Tv para alguna v [pic]
V
EJEMPLO
Núcleo e imagen de la transformación cero.- SeaTv= 0 para todo v [pic]
V (T es la transformación cero). Entonces un T = V e imagen T = 0
• representación matricial de una transformación lineal
Sea V un espacio vectorial real de dimensión n, Wun espacio vectorial real de dimensión m y T: V W una transformación lineal. Sean B1= v1, v2, . . ., vn una base para V y B2 =
0
0
.
.
.
0
X1
X2
.
.
XN
-x1
-x2
.
.
.
-xn
a11 a12...