ingeniero civil

Universidad Nacional de Colombia
Sede Medellín

La mayor parte de los modelos elementales de colas
suponen que las entradas (llegadas de clientes) y las
salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de
acuerdo al proceso de nacimiento y muerte.

Clase # 9
Nacimiento : Llegada de
un nuevo cliente al
sistema de colas

Proceso de nacimiento y
muerte
Diseño: Andrés Gómez

9-1Muerte : Salida del
cliente servido

Diseño: Andrés Gómez

9-2

Suposición 2

Recordemos que N(t) es el número de clientes que
hay en el sistema en el tiempo t. El proceso de
nacimiento y muerte describe en términos
probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t.

Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad
actual del tiempo que falta para la próxima muerte
(terminación delservicio) es exponencial con
parámetro µ n ( n = 1,2...)

Suposición 1
Suposición 3
Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad
actual del tiempo que falta para el próximo
nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro
λ n ( n = 0,1,2...)

Las variables aleatorias de los tiempos que faltan
para la próxima llegada y para la terminación del
servicio son mutuamente independientesTransición en el estado del proceso n

Diseño: Andrés Gómez

9-3

El proceso de nacimiento y muerte es un tipo
especial de cadenas de Markov de tiempo continuo.
λ0
0

λ1
1

µ1

λ n-2
2

µ2

n-2

µ n-1

n

µn

n

n-1

Diseño: Andrés Gómez

9-4

n+1

En(t) : Número de veces que el sistema entra al
estado n hasta el tiempo t

µ n+1

λ n : Tasa media de llegadascuando el sistema está en el estado n.
λ
(Del n al n+1)

Ln(t) : Número de veces que el sistema sale del
estado n hasta el tiempo t

µ n : Tasa media de salidas cuando el sistema está en el estado n.
µ
(Del n al n-1)
Diseño: Andrés Gómez

o

Supongamos que en el tiempo cero se inicia el
conteo del número de veces que el sistema entra en
cualquier estado n y el número de veces quesale
del mismo.

λ n-1 λ n

n-1

n+1

9-5

Diseño: Andrés Gómez

9-6

1

Como los dos tipos de
eventos deben alternarse la
diferencia será a lo sumo 1

≤1

En(t) - Ln(t)

En(t)

Lim
t

∞
∞

Ln(t)

Lim
En(t)
t
En(t)

Lim
∞
∞

t

t

-

-

Ln(t)
t
Ln(t)
t

≤

t

1
t

∞
∞

: Tasa media a la que el
proceso sale del estado n

tPara cualquier estado n (n=0,1,...) del sistema, la tasa
media de entrada es igual a la tasa media de salida

=0

Diseño: Andrés Gómez

: Tasa media a la que el
proceso entra al estado n

t

9-7

Ecuaciones de balance

Diseño: Andrés Gómez

9-8

Estado 0

Se deben construir las ecuaciones que expresan el
principio de la tasa media de entrada igual a la tasa
media de salidapara todos los estados.

µ 1 P1 = λ 0 P0
Tasa media
global de
entradas al
estado 0

Después de construir las ecuaciones de balance
para todos los estados en término de las
probabilidades Pn desconocidas, se puede resolver
este sistema de ecuaciones ( más una ecuación que
establezca que la suma de las Pn debe ser 1).
Diseño: Andrés Gómez

Las Pn son las
probabilidades de estadoestable de encontrarse
en el estado n.

Tasa media
global de
salidas del
estado 0

P1 representa la
proporción de tiempo
posible que el proceso se
encuentra en el estado
cero

Nota : µ 0 = 0 ya que si el sistema est á en el
estado 0 no puede haber muertes.
9-9

Diseño: Andrés Gómez

Estado 0

Estado 1

9-10

µ 1 P1 = λ 0 P0

Estado 1

λ 1 P1 + µ 3 P3 = (λ2 + µ 2 ) P2
λEstado n-1

Tasa media
global de
entradas al
estado 1

λ 0 P0 + µ 2 P2 = (λ1 + µ 1 ) P1
λ

Estado 2

λ n -2 Pn -2 + µ n Pn = (λn -1 + µ n -1 ) Pn -1
λ

Estado n

λ 0 P0 + µ 2 P2 = (λ1 + µ 1 ) P1
λ

λ n -1 Pn -1 + µ n+1 Pn+1 = (λn + µ n) Pn
λ

Tasa media
global de
salidas del
estado 1

Se continua con esta metodología y se deben
construir para todos los demás estados....