Ingeniero Industrial

Guion
´ del Modulo
´
5.

1.

´ A FUNCIONES Y L´I MITES
I NTRODUCCI ON

En este curso nos centraremos en el c´alculo de l´ımites de funciones. As´ı, se plantear´a el c´alculo del l´ımite en un a ∈ R,
en +∞ o en −∞. En cuanto al resultado del l´ımite, podr´ıa ser b ∈ R, +∞ o −∞, ambos casos pueden englobarse en dar
como resultado ∞ sin signo, incluso podr´ıa no existir el l´ımite.
´con las propiedades de l´ımites de funciones, ya sea cuando x tiende a un numero
´
En relacion
real como cuando x
tiende a m´as o menos infinito, se comportan muy bien con respecto a las operaciones entre funciones, esto es, siempre que
´
los l´ımites dan como resultados numeros
reales, el l´ımite de la suma de funciones es la suma de los l´ımites, y tambi´en lo
´ cuando la funcion
´divisor y su l´ımite no se anulan, tambi´en para potencias,
an´alogo para la resta, producto, para la division
ra´ıces, etc...

2.

´ A LMITES CUANDO X TIENDE A INFINITO
I NTRODUCCI ON

´ delicada, hacerlo con todo el rigor necesario resulta inadecuado para el nivel de este curso.
Hablar de ∞ es una cuestion
´
Sin embargo, intentaremos que se entienda la idea, en la medida de lo posible.Tanto +∞ como −∞ no denotan numeros
˜
´
´
reales. As´ı, +∞ es algo anadido
a los numeros
reales que simboliza algo m´as grande que cualquier numero
real, y de la
´
´
misma forma −∞ simboliza algo m´as grande, en negativo, que cualquier numero
real. As´ı, para cualquier numero
real a
se tiene que −∞ < a < +∞.
´
´ real de variable no
Incidimos en el hecho de que tanto +∞ como −∞ no sonnumeros
reales, luego para una funcion
´
tiene sentido decir que la imagen de un numero
es +∞ o −∞. As´ı por ejemplo, no tiene sentido decir que tan π2 = ∞, se
dice que no existe la tangente en π2 . Estos resultado solo se obtienen cuando estamos calculando l´ımites.
´ real de variable real f , con l´ımx→∞ f (x) denotaremos el valor al que se aproxima la funcion
´
Si tenemos una funcion
f(x) cuando x se hace muy grande. De la misma forma, l´ımx→−∞ f (x) denota el valor al valor al que se aproxima f (x)
´
cuando x se hace muy grande, pero en negativo. Ya hemos indicado que estos valores puede ser numeros
reales, infinitos,
o incluso no existir.
´ en cuestion
´ debe satisfacer, que con puntos de este puedas
Para el c´alculo de estos l´ımites el dominio de la funcion
´ elcaso, a +∞ o a −∞.
“aproximarte” segun

3.

L´I MITE CUANDO X TIENDE A INFINITO :

POLINOMIOS

Resulta muy sencillo el c´alculo de l´ımites de polinomios. En primer lugar, si este es constante, f (x) = a ∈ R, entonces
l´ımx→∞ a = a.
En el caso general de un polinomio, es el monomio de mayor grado el que determina el l´ımite, ya que cuando x se hace
´ a lo que se obtiene con el monomio demayor grado. Se tiene que
muy grande, lo dem´as es despreciable, en comparacion
el l´ımite es +∞ si el coeficiente al x de mayor grado es positivo, y −∞ si coeficiente de la x de mayor grado es negativo.

4.

L´I MITE CUANDO X TIENDE A INFINITO : C OCIENTES DE POLINOMIOS

Para el c´alculo de l´ımites cuando x tiende a +∞ de un cociente de polinomios no constantes, es fundamental unapropiedad que dice que
1
= 0 si a ∈ R, a > 0.
l´ım
x→∞ xa
Al tener un cociente de polinomios, tanto numerador como denominador tender´an a ∞ (pudiendo ser +∞ o −∞).
´ ∞
. Para el c´alculo de estos l´ımites, dividiremos numerador y denominador
Diremos que estamos ante la indeterminacion
∞
por x elevado al mayor de los grados de ambos, simplificaremos todas las fracciones que se obtengan,aplicaremos la
propiedad, siendo el l´ımite el resultado obtenido. Existe un caso conflictivo, cuando el resultado que se obtiene tiene por
denominador 0. Aunque estas fracciones no tiene sentido, s´ı se permiten cuando calculamos l´ımites. En este caso, hablamos
´
´
´
de “aproximar”, por tanto ese 0 significa “muy proximo”
a 0, y un numero
dividido entre algo muy proximo
a 0, es muy...