Ingeniero Industrial

E1/P855 Determinar (a) las componentes y (b) la longitud del vector con punto inicial P (-3,4,1) y punto final Q (-5,2,2).
Solución:
(a) El vector en posición canonica v que representa a PQ tiene componentes
VX= X2 – X1= -5 – (-3)= -2, VY= Y2 – Y1= 2 – 4 = -2, Vz = Z2 – Z1 = 2 – 1 = 1
La expresión de PQ en componentes es V= <-2,-2,1>.
(b) La longitud omagnitud de v= PQ es:
|v| = (-2)2 + (-2)2 + (1)2 = 9 = 3

E2/P857
Sean u = {-1,3,1} y v = {4,7,0}. Calcule
(a) 2u + 3v (b) u - v (c) |½ u|.
Solución
(a) 2u + 3v = 2<-1,3,1> + 3<4,7,0> = <-2,6,2> + <12,21,0> = <10,27,2>
(b) u – v = <-1,3,1> - <4,7,0> = <-5,-4,1>
(c) |½ u| = |<- ½, 3/2, 1/2>| =(- (1/2)2 + (3/2)2 + (1/2)2) = ½ 11.
(a)

(b)

E3/P857
Un avión vuela hacia el este a 500 millas / hora en un plano horizontal; y encuentra un viento de cola de 70 millas / hora que sopla en dirección 60° al noreste. El avión mantiene el rumbo hacia el este, pero debido al viento adquiere una nueva dirección y rapidez con respecto al suelo. Calcular estas cantidades
(a) Lanueva dirección (b) La nueva velocidad
Paso 1.- Calcular las componentes vectoriales
P = {500,0}


Sen 60° = (CO/H) = Y/70 despejando a Y = 70 Sen 60° = 60.621
Cos 60° = (CA/H) = X/70 despejando a X = 70 Cos 60° = 35
Por lo tanto Q = {35,60.621}

Paso 2.- Encontrar {P + Q}
P + Q = {500,0} + {35,60.621} = {535,60.621}

Paso 3.- Encontrar la magnitud de P + Q
|{535,60.621}| =(535)2 + (60.621)2 = 538.424 millas / hora.

Paso 4.- Calculo de la dirección.

Tan θ = CO/CA= 60.621/535
Θ = Tan-1 (60.621/535) = 6.464°

E4/P858
Determinar un vector unitario en la dirección del vector P1 (1,0,1) a P2 (3,2,0)
(a) Calcular el vector unitario
P1P2 = (X2 – X1)i + (Y2 – Y1)j + (Z2 – Z1)k = (3-1)i + (2-0)j + (0-1)k = 2i+2j-k

(b) Calcular la longitude delvector
|P1P2| = (X2 – X1)² + (Y2 – Y1)²+ (Z2 – Z1)²
= (3-1)² + (2-0)² + (0-1)² = 2²+2²+(-1)² = 9 = 3

E5/P859
Una fuerza de 6 Newton se aplica en la direccion del vector v = 2i + 2j – k. Expresar la fuerza F como el producto de su magnitud y dirección.
Solución El vector de fuerza tiene magnitud 6 y dirección v/|v| de modo que

F = 6 (V/|V|) = 6 ((2i +2j – k)/ 22 +22+ (-1)2) = 6 ( (2i + 2j – k)/3) = 6 (2/3i + 2/3j – 1/3 k)
= 12/3 i + 12/3 j – 1/3 k = 4i + 4j – 2k

E6/P863
Calcular el Producto Punto de:
(a) <1,-2,-1> · <-6,2,-3> = (1)(-6) + (-2)(2) + (-1)(-3) = -6 + (-4) + 3 = -10 + 3 = -7
(b) (1/2i + 3j + k) · (4i – j + 2k) = (1/2)(4)i + (3)(-1)j + (1)(2)k = 2 – 3 + 2 = 1

E7/P864
Calcular el angulo entre lossiguientes vectores u = i – 2 j – 2k v= 6i + 3j + 2k
(a) Calcular (u · v) = (1)(6)+(-2)(3)+(-2)(2) = 6 – 6 – 4 = - 4
(b) Calcular |v|= 6² + 3² + 2² = 36+9+4 = 49 = 7
|u| = 1² + (-2)² + (-2)² = 1+ 4 + 4 = 9 = 3
Por lo tanto θ = Cos-1 (-4/(3)(7)) = 100.98 °

E8/P865
Calcular el angulo θ del vértice C del triangulo ABC determinado mediante los vértices A= (0,0) , B=(3,5) y C= (5,2)
(a) Calcular las coordenadas del vector
CA = <(0-5),(0-2)> = <-5,-2>
CB = <(3-5),(5-2)> = <-2 , 3>

θ= cos-1(CA ·CB|CA||CB|) = <-5,-2> · <-2,3>(52+-22)(-22+32)= 10+(-6)√29√13=419.416= cos-10.206=78.112°

E9/P875
Calcular el producto cruz de UxV y VxU
U= 2i + j + k
V= -4i + 3j + k
U x V = ijk–431211 = (3-1)i – (-4-2)j +(6-(-4))k = -2i -6j +10k

V x U= ijk–431211 = (3-1)i – (-4-2)j + (-4-6) k = 2i + 6j – 10k

E10/P715
Determinar las coordenadas rectangulares del punto P1 (2, 16π) y de su vector simétrico.
(a) X= H-CO = 22-12 = 4-1 = 3 = 1.732
(b) X = r cos θ = 2 cos 30° = 1.732
Por lo tanto el P2 = (-2, 76π)
Y= r sen θ = 2 sen 30° = 1

E11/P716
Graficar el conjunto de puntos...