Ingeniero

Cálculo I
Armengol Blanco Benito
Facultad Nacional de Ingeniería
Departamento de Matemáticas
11 de diciembre de 2012

ii

Prefacio
Este apunte nace ante de la necesidad de proporcionar a mis alumnos de Cálculo I una ayuda
para claricar y aplicar los conceptos expuestos en clases.
En cierta manera es un compendio de la asignatura. Se consultaron varios textos clásicos de
CálculoDiferencial e Integral y Geometría Analítica, asimismo varias páginas web de internet.
El Cálculo tiene una vigencia de más 3 siglos, desde Newton (1642-1727) y Leibniz (1646-1716),
considerados como los padres del Cálculo, sus enfoques y conceptos son distintos, pero llegan básicamente a los mismos resultados, llegando a un cálculo también algo distinto del que se usa ahora.
No se pretende seroriginal en cuanto al contenido temático, el cálculo diferencial e integral es un
algoritmo general que vale para todas expresiones analíticas, hasta nuestros días no sufrió cambios
profundos, tal vez en la forma de enfocar y presentar los temas.
Los cambios vienen con el uso de una metodología de enseñanza en particular que usa asistentes
matemáticos, tales como: MathCAD, Derive, Matlab y otros.Por otra parte, se pretende satisfacer los intereses, tanto de los alumnos que estudian ingeniería
como de los que quisieran dedicarse a las matemáticas puras.
A lo largo del texto, se incluyen ejemplos resueltos para claricar y aplicar los conceptos expuestos.

A
La edición del texto, se preparó en el ambiente L TEX 2ε mediante el editor WinEdit v. 6.0 y las
c 6.
grácas se realizaronen Derive
Armengol Blanco Benito

Índice general
1. Introducción Teórica

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Números Reales, R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Números Naturales, N . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Números Enteros, Z . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Números Racionales, Q . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. NúmerosIrracionales, Q . . . . . . . . . . . . .
1.3. Recta Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Concepto de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Cuerpo de los Números Reales . . . . . . . . .
1.5. Leyes usuales de la aritmética. . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1.7.1. Reglas para Desigualdades . . . . . . . . . . . .
1.8. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1. Intervalos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2. Intervalos Innitos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1. Propiedades del Valor Absoluto . . . . . . . . .
1.10. Vecindadesy Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Punto de Acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1. Diversas Formas de Expresión de una Función .
1.12.2. Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . .
1.12.3. Funciones Especiales . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.3.1. Valor Absoluto . . . . . . . . . . .. .
1.12.3.2. Función parte Entera . . . . . . . . .
1.12.3.3. Función signo . . . . . . . . . . . . . .
1.12.4. Composición de Funciones . . . . . . . . . . . .
1.12.5. Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.5.1. Función Inyectiva . . . . . . . . . . .
1.12.5.2. Función Sobreyectiva . . . . . . . . .
1.12.5.3. Función Biyectiva . . . . . . . . . . .
1.13. Clases deFunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....