ingeniero

Guía de Ejercicios Nº 1

1.-

1 3
2 0
1 1
Sean A
y
2 5
B
1 4
C
4 6
1 2
7 5
7 3
( i ) Calcule 3A, 2C 5 A, 7C B 2 A
( ii ) Encuentre una matriz D tal que 2A B D sea la matriz cero de orden 3 2 .

a)

1

b)

Si A

1

3

2

4

0

5

1

3

B

2
0

0

5

C

0

2

3

1

0

0 1
1
7 6 0
0 2 4
( i ) Calcule 2 A B 2C, A B C
( ii )Encuentre una matriz E tal que A C 2B 4E sea la matriz identidad de orden 3 3 .
0 1 0 0

2.-

Calcule A2 , A3 , A4 si

0 0 1 0

A

0 0 0 1

. ¿Podría hallar An , para n 4, n

?

0 0 0 0

3.-

Considere las matrices elementales filas de orden 3, siguientes: F23 , F

5 1

, F2

3 1

, F3

2 1

1 0
y las matrices A
y
B
2 1 .
1 0 2
1 1
1 1
2 0
1 1 0
a) Escribaexplícitamente cada una de estas matrices elementales, y exprese cada una de ellas como la
imagen por una operación elemental fila de la identidad.
b) Calcule F23 F 5 1 A y F2 3 1 F3 2 1 B
1

c) Calcule

f 23

f

5 1

2

4

5

y

A

0

f2

3 1

f3

2 1

B

d) ¿Qué concluye de los cálculos anteriores?.
4.-

Halle las inversas de las matrices:
1 a a

1
1
11

a)

1
1
1
1

1
1
1
1

1
1
1
1

Ik

U

0

Il

a

...

0 0

1

...

0

1

y l respectivamente,

l arbitraria y 0 matriz nula.

Pruebe que:
a)
b)
c)

6.-

n
a
n 1
a
n 2
a

...

, donde I k , I l son matrices identidad de ordenes k

U matriz k
5.-

...

0 1

b)

0 0

c)

2

ABC

1

C 1B 1 A

1

; A, B, C matricesno singulares.

1 1
, k 0.
A , para A matriz no singular y k
k
Si A es matriz 2 1 y B matriz 1 2 entonces A B es singular.
kA

1

Una matriz cuadrada A se llama INVOLUTIVA si A2
Demuestre que si A es involutiva entonces:
a)

A es no singular.

I y se llama IDEMPOTENTE si A2

A.

1

b)

I

y

A

2

A

1

son idempotentes y

2

I

1

A

2

1 2
3 4c)

A

0

M 2 sea involutiva.

3
5

3 5
5 9

X

1
2

X

5 6
7 8

b)

14 16
9 10

2
4

d)

3
5

X

3
6

X

2
4

1 2
5 6

2 3
4 6

Halle las matrices escalón reducida por filas equivalentes a las matrices siguientes, e indique el rango de
cada una:
5
1 2 3
0
[2 0 5 4]
a)
b)
c)
1
2 5 4
3
1

1
2
3

d)

1
1
3

1
3
1

e)1

0

3

2
6
2

2
2

1

2

2

5

3

2

2

1

Sea

A

1
1
1

5

6

1

9.-

I

2

Resuelva las ecuaciones matriciales. Use matrices inversas cuando sea posible; si no es posible, resuelva
usando incógnitas.
a)

8.-

I

Halle condiciones para que una matriz A

c)
7.-

1

3

1

3

2 1 0
0 3 5
2 1 1

Halle una matriz escalónreducida por filas R , equivalente por fila a A , y una matriz invertible 3 3 ,
P tal que R PA .
10.- Describa todas las posibles matrices 2 2 que son escalón reducida por filas.
Idem para 2 3, 3 2 y 3 3 .

11.- Halle detA y det AT . Compruebe que son iguales en cada caso :
1 2 1
1 2
A
A 3 1 0
a) A
b)
c)
1 1
0 2 4

LM
N

OP
Q

LM
MM
N

OP
PP
Q

LM x y OP
Nu v Q

d)A

LMa
MM0
N0

b
d
0

a ji , i, j . Pruebe que detA=0.
12.- a) Sea A una matriz cuadrada de orden impar, tal que : aij
T
(Indicación : Observe que A
A y de ahí se obtiene detA = - detA).
a d
3a
b 2a b d
2b
b d
c b
c d
0
b) Pruebe que :
a c c 2d
d
a 3d
b d c d
a c
a b
c) Sea A M 2 ( ). Pruebe que adj(adj(A)) = A.

d i bdetAg

d) Sea A M n ( ) no singular. Pruebeque det A 1

1

.

e) Sea C matriz elemental columna. Calcule detC, para cada caso y muestre que detC
f) Los números 204, 255 y 527 son divisibles por 17.
2 0 4
Pruebe, sin calcular, que 2 5 5
5 2 7
13.- Calcule los determinantes siguientes:

es divisible por 17.

0.

OP
eP
fP
Q
c

3

a) 1
1

2

4

1 2
4

b)

0

1
2

1 1
0 1

1
1

1

1 0

0...