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Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata










ESTRUCTURAS III
Para alumnos de la carrera de Ingeniería Aeronáutica y Mecánica de la UNLP









CIRCULO DE MOHR
para el cálculo de tensiones principales en el plano y el espacio








Autores:


Ing. Federico Antico
Sr. Santiago Pezzotti


Revisado por:

Ing. JuanPablo Durruty
















-2008-



ESTRUCTURAS III Círculo de Mohr


Circulo de Mohr:

 Breve reseña:

Desarrollo hecho por Christian Otto Mohr (1835-1918), el círculo de Mohr es un método
gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Entre las
tensiones que existentes en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y conunas
ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones
que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte nulas. Estas
tensiones son de importancia para el estudio de la resistencia mecánica de una pieza.
Este método tiene aplicación para estados tensionales en dos y tres dimensiones.

 Teoría del círculo de Mohr para dosdimensiones:

Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano
de carga para nuestro sistema al plano xy (ver figura 1), de modo de que no existan
esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento
triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en
esos planos son nulas.Esta suposición se hace con el fin de no complicar por demás la
matemática siendo el objeto de este desarrollo conocer el desarrollo matemático a fin de
ser asociado con el modelo físico:


















figura 1

En la figura 1, además de los ejes x e y, se muestra otro par de ejes coordenados los cuales
han sido rotados un ángulo  respecto del eje z (normal al plano),el par de ejes x1 e y1 son
normal y tangente al plano A respectivamente

Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax , Ay y A
Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:



− x .A x − .A.sen  .A.cos   0

Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:

(1)



−y.Ay  .A.cos   .A.sen  0

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ESTRUCTURAS III Círculo de Mohr

Considerando que Ax =Acos y que Ay =Asen re escribimos las ecuaciones 1 y 2:

− x .cos  − .sen  .cos   0, donde A ≠ 0 (1-1)
−y.sen  .cos   .sen  0, donde A ≠ 0 (2-2)


Multiplicando la ecuación (1-1) por cos la (2-2) por sen y sumando ambas se llega a:

0  − x .cos 2  −  y .sen 2   (3)Y considerando las relaciones trigonométricas:


2
2
2
sen.cos  
2 ⎭
Se llega a:




 

x  y    x − y .cos 2 (5)
2 2



Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano 
Multiplicando la ecuación (1-1) por sen la (2-2) por cos sumando ambas y
considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:




 −

− 
2

Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son mas que las componentes cartesianas de los
puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la
circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica sen2  cos2   1,
entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:

2 2

2 ⎥ 2

Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr”para dos dimensiones. En
esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma

⎜ ⎟ y un punto cualquiera perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene
2
valor 2, siendo  el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa
superficie valen  y  Consideremos x< y.


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ESTRUCTURAS III Círculo de Mohr


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