Ingeniero

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UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA ASIGNATURA: MATEMÁTICA II

ÁLGEBRA DE MATRICES
DEFINICIÓN: llamaremos MATRIZ a todo arreglo rectangular de números o funciones encerrados entre corchetes y que obedece a ciertas leyes de combinación, tal como: Fila a11 a21 a31 . . . am1 a12 a22 a32 . . . am2 a13 . . . a1n a23 . . . a2n a33 . . . a3n . . . . . . am3 . . .amn Columna

A=

ai j

=

Orden de la Matriz mxn

Donde:  ELEMENTOS : son los números o funciones que forman la matriz.  ai j : elemento genérico.  i : número de fila.  j : número de columna.  TAMAÑO DE LA MATRIZ : se indica por medio del orden de la matriz.

MATRIZ CUADRADA: el número de filas es igual al número de columnas. A = [ai j] m x n , m = n  A = [ai j] n

La líneaimaginaria que pasa por los elementos: a11, a22, a33, ... , ann, se llama Diagonal Principal. La suma de los elementos de la Diagonal Principal es el Trazo de la Matriz. IGUALDAD DE MATRICES: dos matrices A = [ai j] m n ,  B = [bi j] m n , son iguales si y solo si tienen el mismo orden y si cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra. Esto es: ai j = ai j , donde i = 1, 2,3, ..., m  j = 1, 2, 3, ..., n OPERACIONES CON MATRICES: 1. SUMA: si A = [ai j] y B = [bi j] son matrices de orden mxn, entonces su suma (resta), es la matriz de orden mxn C = [cij], para la cual cada elemento de C es la suma (diferencia) de los correspondientes elementos de A y B. Esto es: ci j = a i j  b i j

Danilo Leiva dleiva@ufg.edu.sv

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OBSERVACIONES: i. ii. Si dos matricesson del mismo orden se dice que son CONFORMABLES para la suma (resta). Para sumar (restar) es necesario que las matrices tengan el mismo orden.

LEYES DE LA SUMA:
Sean A, B, y C matrices Conformables para la suma y k un escalar, entonces: i. ii. iii. 2. A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C k(A + B) = kA + kB = (A + B)k

si “k” es un escalar, entonces por kA = Ak se entiende la matriz obtenidade A por multiplicación de todos sus elementos por k. Si en particular k = – 1, a la matriz kA = – A se le llama Matriz Negativa de A. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ: PRODUCTO PUNTO: el Producto Punto de una matriz fila 1xn y una matriz columna nx1 es la matriz de orden 1x1 (número real) dada por: b11 b21 [a11, a12, a13, ... , a1n] = b31 . . . bn1 = [a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ... + a1nbn1] =

3.

n


k=1

a1k bk1

4.

PRODUCTO DE MATRICES:

por el producto AB de la matriz A = [ai j] m xp y la matriz B = [bi j] pxn, se entiende la matriz C = [ci j] mxn, tal que:
n

ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + aip bpj =


k=1

aik bki

OBSERVACIONES: i. Para realizar el producto de dos matrices es necesario que el número de columnas de la primera sea igualal número de filas de la segunda matriz, en cuyo caso se dice que las matrices son CONFORMABLES para la multiplicación. Si A, B y C son conformables para la suma y el producto, entonces: a) A(B + C) = AB + AC b) (A + B)C = AC + BC c) A(BC) = (AB)C d) k(AB) = (kA)B = A(kB), k es un escalar. Sin embargo: e) AB  BA f) AB = 0, no necesariamente implica que: A = 0 ó B = 0. Donde 0 = [0] es la matrizNULA: todos sus elementos son ceros. g) AC = AB, no necesariamente implica que C = B.

ii.

TAREA:

Hallar matrices cuadradas de orden 3 de manera tal que cumplan con los literales e, f y g de la observación (ii) del producto de matrices.

Danilo Leiva dleiva@ufg.edu.sv

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DETERMINANTES
DEFINICIÓN: El Determinante es un número asociado con las matrices cuadradas. Es unarreglo cuadrado de n cantidades encerradas entre barras y que tiene cierto valor. Su forma general es: a11 a21 a31 . . . an1 a12 a22 a32 . . . an2 a13 a23 a33 . . . an3 . . . a1n . . . a2n . . . a3n . . . . . . ann

det D =D =

Orden n

SOLUCIÓN DE UN DETERMINANTE DE ORDEN 2 Ó DE 2º ORDEN: D = a11 a12 = a11 a22 – a12 a21 a21 a22

MENOR DEL ELEMENTO ai j : Mi j Llamaremos Menor del...