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Funciones polinomiales.
Muchas de las funciones con las que se trabaja en cálculo se construyen al realizar operaciones aritmeticas sobre funciones potencia. De especial interés son las funciones potencia donde es un entero no negativo. Para la función se denomina función polinomial de un solo término. Al usar las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación es posibleconstruir funciones polinomiales con muchos términos. Por ejemplo, si , , , y . Entonces




En general, una función polinomial es una función de la forma
,
donde es un entero no negativo y los coeficientes son números reales.
El dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales .



Definición: operaciones con funciones

Si son dosfunciones, entonces la suma , la diferencia , el producto
y el cociente se definen como sigue:










. Por tanto, el dominio de las funciones es el conjunto de numeros reales que son comunes a ambos dominios; es decir, el dominio es la intersección del dominio de con el dominio de . En el caso del cociente , el dominio también es la interseccion de los dosdominios, pero tambien es necesario excluir cualquier valor de para que el denominador sea cero. En otras palabras, si el dominio de es el conjunto y el dominio de es el conjunto , entonces el dominio de es , y el dominio de es







Definición. Composición de funciones
Si son dos funciones, la composición de denotada por , es la función definida por , de forma análogaLa composición de de es la función definida por

Ejemplo: Dos composiciones si
encuentre

a)
b)

Solución

a) Para hacer énfasis se sustituye por el conjunto de paréntesis y se escribe en la forma . Entonces, para evaluar , cada conjunto de paréntesis se llena con . Obtenemos.






b) En este caso, se escribe en laforma . Así








Dominio de una composición
Para evaluar la composición el numero debe estar en el dominio de . Por ejemplo, el dominio de es, y el dominio de es el conjunto de numeros reales .

Transformaciones rigidas.
Una transformación rigida de una gráfica es unatransformación que cambia solo la posición de la grafica en el plano , pero no su forma. Para la grafica de una función se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones.

Traslaciones
Suponga que es una función y es una constante positiva. Entonces la grafica de

es la grafica de desplazada verticalmente hacia arriba unidades,
es la grafica de desplazada verticalmente haciaabajo unidades,
e s la grafica de desplazada horizontalmente hacia la izquierda unidades,
es la grafica de desplazada horizontalmente hacia la derecha
unidades.

Ejemplo. En la siguiente figura se presentan, en color negro la grafica de la función , en color rojo la grafica de la función , y en color azul la grafica de la función . Las cuales muestran el desplazamiento haciaarriba y hacia abajo de la función , respectivamente.








En la siguiente figura se muestran las graficas de las funciones, en color negro, , en color azul, , en color rojo. Estas graficas representan el desplazamiento de la función hacia la izquierda y hacia la derecha respectivamente.






Reflexiones
Suponga que es una función. Entonces la grafica de
, es lagrafica de reflejada en el eje .
, es la grafica de reflejada en el eje .

En la siguiente figura se muestra la reflexión de la función en color azul, y en color negro



Pruebas para simetría de la grafica de una función


La gráfica de una función con dominio es simétrica con respecto al
eje si para toda en , o bien,
origen si para toda en .


Funciones...