ingeniero
Vectorial, así haremos uso de la confusión conveniente al considerar ( x 1 , x 2 ,, x n )
tanto como punto o vector, además si A, B son ptos de IR n , entonces AB = B – A
Def. Si x = ( x 1 , x 2 ,, x n ), Entonces:
n
x1=
x i es la norma “uno” o de la suma de x
i 1
1
2
n
x 2=
x
2
i
esla norma “dos” o Euclidiana de x
i 1
x = máx{ x i : i = 1n } es la norma infinito de x
Ejercicios:
Obtener cada una de las normas para x = ( 2, 1,– 2 )
Probar que: x
x
x 1,
2
IR n
x
En este curso usaremos corrientemente la norma “dos”, la que será denotada como x
Debo saber:
Considere x = ( x 1 , x 2 ,, x n ) ; y = ( y1 , y2 ,, yn ) entonces:
x es l.d. con y
IR :x =
x y
y
Llamaremos dirección a todo vector de norma 1
i.e. x IR n es una dirección
x =1
Denotaremos por dir(y) a la dirección del vector y
1
2
n
Notar que: y = ( y1 , y2 ,, yn )
y =
y
2
i
dir(y) =
i 1
1
y
y
Ejercicios:
Verificar que
1
y = 1;
y
y
IR n { 0 v }
Determine la dirección del vector x = ( 2, 1,– 2 )
RECTAS
Def.Considere P , punto arbitrario de IR n ; Po , punto fijo de IR n , V IR n
Entonces L = { P : P = Po + tV , t IR }, representa a la recta L por Po , dirigida por V
Consideremos el caso n = 3
Sea: P = ( x, y, z) , punto arbitrario de IR 3 ( usando notación clásica )
Prof. Máximo González Sasso
Po = ( x o , y o , z o ) punto fijo de IR 3
V = ( a, b, c ) un vector de IR 3
Entonces:
( x , y , z )= ( x o , yo , zo ) + t ( a , b , c )
P = Po + t V
x
xo
yo
bt
z
zo
ct
x
xo
at
y yo
bt
z zo
IR 3
at
y
Ecuación Vectorial de L en
ct
x xo
a
Así: abc 0
x xo
a
y yo
b
Ecuaciones paramétricas de L en
y yo
b
IR 3
z zo
=t
c
z zo
es la forma principal de L en IR 3
c
a, b, c suelen ser llamados números directores.
V= ( a, b, c ) suele ser llamado vector director
Notar que si se define la función:
: IR
IR 3 , de modo que
Entonces L = Im (
)=
(t) = ( x o + a t , y o + b t , z o + c t )
(IR)
Ejercicio.
Determine situación de la recta si alguno de los componentes del vector V es
cero (i.e. si alguno de los números directores es cero )
Obs.
Considere las rectas:
L1 :
x
x1
a1
yy1
b1
z z1
c1
L2 :
x
x2
y
a2
y2
b2
z z2
c2
(por supuesto, ningún número director es cero)
Notar que el vector V1 = ( a 1 , b1 , c1 ) dirige a la recta L1
El vector V2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ) dirige a la recta L 2
Entonces L1
L2
V1
V2
IR : V1 =
V2
Prof. Máximo González Sasso
( a 1 , b1 , c1 ) = ( a 2 , b 2 , c 2 ) = (
a2 ,
b2 ,
c2 )
a1b
c
= 1 = 1 =
a 2 b2
c2
Así tenemos la siguiente
Proposición
Sean L1 :
x
x1
y y1
b1
a1
z z1
c1
x
L2 :
x2
y
a2
y2
b2
z z2
c2
entonces:
L1
a1
b
c
= 1 = 1
a 2 b2
c2
L2
Ejercicios.
Considere L :
x xo
a
y yo
b
z zo
c
P1 = ( x 1 , y1 , z 1 ) L
Determine Ecuación Vectorial, Ecuaciones Paramétricas y forma principal dela
recta que pasa por P1 y es paralela a la recta L
Considere los puntos Po = ( x o , y o , z o ) y P1 = ( x 1 , y1 , z 1 )
Determine Ecuación Vectorial, Ecuaciones Paramétricas y forma principal de la
recta que pasa por Po y P1 ( notación : L = Po P1 )
Def.
Considere v = ( x 1 , x 2 ,, x n )
v = ( y1 , y 2 ,, y n ) , entonces
n
v·u = ( x 1 , x 2 ,, x n )·( y1 , y2 ,, yn ) =
xi y i , es el producto interior ( o producto
i 1
punto de los vectores v, u )
Propiedades del producto punto:
Sean v, u, w
IR n , entonces:
P1) v·u = u·v
P2) v·(u
2
w ) = v·u
P3) v = v·v
0;
v·w
v IR n
v =
v v ;
v IR n
Problema:
Explique porque no tiene sentido hablar de asociatividad para el producto punto
Prof. Máximo González Sasso
Recordemos el...
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