ingeniero

Tema 5

Teoría de Vigas

V

V

V

V
a)

M

M

M

M

b)
Figura 5.10. Deformaciones de un elemento de viga causadas por: a) esfuerzo cortante y b) Momento flector.

5.5.- RELACIONES ENTRE ESFUERZOS Y FUERZAS EXTERIORES
Hasta aquí hemos estudiado independientemente momentos flectores y esfuerzos
cortantes en vigas, sin tener en cuenta las relaciones que existen entre ambasmagnitudes.
Estas relaciones son muy útiles al investigar el comportamiento de estos esfuerzos en toda la
longitud de una viga; además, son de particular utilidad al construir los diagramas
correspondientes como veremos más adelante.
Para obtener las relaciones, consideremos un elemento de una viga separado por dos
secciones transversales adyacentes mn y pq a una distancia dx (figura 5.11).La carga que
actúa sobre la superficie superior del elemento puede ser una carga distribuida, una carga
concentrada o un momento (figuras 5.11.a, b y c). Los convenios de signos para estas cargas
son los siguientes: las cargas distribuidas y las cargas concentradas son positivas cuando
actúan hacia abajo sobre la viga, un momento que actúa como carga sobre una viga es
positivo cuando esantihorario y negativo cuando es horario.
q
M

V

M + dM

dx
a)

M0

P

V + dV

M

V

M + M1

dx
b)

V + V1

M

V

M + M1

dx
c)

V + V1

Figura 5.11. Elemento de viga utilizado para obtener las relaciones entre cargas, esfuerzos cortantes y momentos
flectores.

107

Resistencia de Materiales

Los esfuerzos cortantes y momentos flectores que actúan sobrelos lados del elemento
se muestran en sus sentidos positivos. En general, variarán a lo largo del eje de la viga; por
tanto sus valores en la cara derecha del elemento pueden ser diferentes de sus valores en la
cara izquierda. En el caso de una cara distribuida (figura 5.11. a), los incrementos en V y M
son infinitesimales y los denotamos con dV y dM. Las resultantes de esfuerzos en la caraderecha son V + dV y M + dM. En el caso de una carga concentrada (figura 5.11.b) o de un
momento (figura 5.11.c), los incrementos pueden ser finitos, por lo que se denotan con V1 y
M1. Las resultantes de esfuerzos correspondientes sobre la cara derecha son V + V1 y M + M1.
Para cada tipo de carga podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio para el
elemento, una ecuación de equilibrio de fuerzasen dirección vertical y una de equilibrio de
momentos. La primera nos dará una relación entre la carga y el esfuerzo cortante; la segunda,
la relación entre el esfuerzo cortante y el momento flector.
Para el primer caso de carga (figura 5.11.a). El equilibrio de fuerzas en dirección
vertical da:

Fvert

0

V

q dx

dV
dx

V

dV

0

q

(4.1)
De esta ecuación se observaque la variación del esfuerzo cortante en cualquier punto
sobre el eje de la viga es igual a menos la intensidad de la carga distribuida en el mismo
punto. De igual forma, algunas relaciones útiles son obvias; por ejemplo, si no se tiene carga
distribuida sobre un segmento de la viga, es decir q = 0, entonces dV/dx = 0 y el esfuerzo
cortante es constante en esa parte de la viga. También, si lacarga distribuida es uniforme a lo
largo de parte de la viga, q = cte. , entonces dV/dx es constante y el esfuerzo cortante cambia
linealmente en esa parte de la viga.
Como demostración consideremos la viga apoyada de la figura 5.12. con una carga
uniformemente distribuida de intensidad q
q
B

A

VA

x
l

VB

Figura 5.12. Relación entre cargas y esfuerzo cortante.

El esfuerzocortante en una sección cualquiera situada a una distancia x del apoyo A
es:
108

Tema 5

Teoría de Vigas

V

qx

ql
2

d ql
dx 2

qx

VA

qx

Efectuamos la derivación dV/dx y resulta

dV
dx

q

que concuerda con lo indicado en la ecuación (4.1.).
La relación entre los esfuerzos cortantes en dos secciones transversales diferentes de
una viga se obtiene integrando...