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TEMA 2
Análisis de Regresión

El término de regresión fue usado por primera vez por Francis Galton. En un artículo muy famoso, Galton explica como la observación en las alturas de las personas existe la tendencia de que los padres altos tienen hijos altos y de que los padres bajitos tienen hijos de baja estatura. Sin embargo también observó que la distribución de las estaturas de unapoblación no cambiaba sustancialmente de generación en generación. Su explicación mostraba que había una tendencia de la estatura promedio de los hijos con padres de determinada estatura a moverse o regresar a la estatura promedio de toda la población. La ley de la regresión lineal de Galton fue confirmada por su amigo Karl Pearson, quién recolectó más de mil datos de estaturas de miembros de gruposfamiliares. Pearson encontró que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres altos era menor que la estatura de sus padres, mientras que la estatura promedio de los hijos de un grupo de padres de baja estatura era mayor que la de sus padres, “regresando a la media general”. En la terminología de Galton, esto era la “regresión a la mediocridad”. Así, lo que le interesó a Galton era poderlograr predecir la estatura promedio de los hijos conociendo la estatura de los padres.

La interpretación moderna de regresión es diferente. En términos generales es:
El análisis de regresión busca la relación de dependencia de una variable, “la variable dependiente Y”, en una o más variables, “las variables explicatorias X´s”, con el objeto de estimar o predecir la media o el valor promediopoblacional de la variable dependiente basándose en los valores conocidos de las variables explicatorias (muestras).

Como consecuencia, el análisis de regresión se ocupa de modelar una ecuación matemática que se conoce como dependencia estadística entre variables y no la dependencia funcional o determinista de la física clásica. En regresión se manejan variables aleatorias o estocásticas(distribuciones de probabilidad) y no dependencias deterministas (Física, Química, Matemáticas) que maneja variables fijas y sin cambios (Leyes de Newton, Ley de la gravedad, Leyes de los gases de Boyle, Ley de la relatividad, etc.)

Por lo que es importante hacer notar es que el análisis de regresión que examina la dependencia de una variable NO implica una causalidad, por más fuerte y sugerente que éstasea. El análisis no determina una teoría, sino utiliza una ecuación de interpolación dentro del intervalo de las variables explicativas que se utilizan para ajustarlo.

Modelo de Regresión Simple
El modelo de regresión lineal simple, es un modelo con una sola variable independiente “x” que tiene una relación con la variable de respuesta “y”. La variable “x” no necesariamente es aleatoria, yaque en muchas ocasiones el investigador fija sus valores, en cambio “y” sí es una variable aleatoria. La relación entre las variables se describe de la siguiente manera



Donde:
* Los parámetros y se les conoce como coeficientes de regresión y son constantes desconocidas. Su interpretación es simple y útil. El coeficiente es la ordenada al origen y es la pendiente de larecta, es decir, es el cambio producido en el promedio de la variable de respuesta “y” cuando existe un cambio unitario en la variable “x”.
* El parámetro es el error estadístico, el cuál debe suponerse como una variable aleatoria con distribución Normal con fija desconocida. También debe suponerse que no existe relación alguna entre los errores. Esto significa que el valor de un error nodepende del valor de cualquier otro error.

En análisis de regresión se busca estimar los valores de , en base de los valores de las observaciones conocidas de “yi” y “xi”. El término Lineal es debido al exponente de grado 1 de la variable explicativa.

Ejemplo:
Sea una población total de 60 familias. Sea Y el gasto del consumo familiar en miles de pesos y sea X el ingreso familiar en miles...