Ingeniero
Páginas: 4 (899 palabras)
Publicado: 20 de octubre de 2014
Teorema de Euler
Fórmula de Euler
La fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmonatural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.
Una propiedad importante de esta fórmula de Euler es que contiene dos tipos de simetrías: la par y la impar. La forma cosenoes la misma para valores positivos y negativos de la variable x, en este caso. Se dice que ella tiene simetría par. En tanto que la onda seno varía en signo con el signo de la variable x. Se dice quetiene simetría impar. Es sabido que este tipo de simetría desempeña un papel muy importante en la física moderna y aquí tenemos una función con ambos tipos de simetría, razón por la cual en la mecánicacuántica los números complejos son esenciales.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar xsobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a lasagujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, yluego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejoscomo puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde.
Demostración usando las Series de Taylor
Sabiendo que:
Y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x)(asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor al rededor de cero.
Para una z compleja definimos cada una de estas funciones por las series...
Fórmula de Euler
La fórmula o relación de Euler, atribuida al matemático Leonard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmonatural, i es la unidad imaginaria y sin, cos son funciones trigonométricas.
Una propiedad importante de esta fórmula de Euler es que contiene dos tipos de simetrías: la par y la impar. La forma cosenoes la misma para valores positivos y negativos de la variable x, en este caso. Se dice que ella tiene simetría par. En tanto que la onda seno varía en signo con el signo de la variable x. Se dice quetiene simetría impar. Es sabido que este tipo de simetría desempeña un papel muy importante en la física moderna y aquí tenemos una función con ambos tipos de simetría, razón por la cual en la mecánicacuántica los números complejos son esenciales.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función eix al variar xsobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a lasagujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes.
La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, yluego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejoscomo puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde.
Demostración usando las Series de Taylor
Sabiendo que:
Y así sucesivamente. Además de esto, las funciones ex, cos(x) y sin(x)(asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor al rededor de cero.
Para una z compleja definimos cada una de estas funciones por las series...
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