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Derivadas

DERIVADA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE:
La definición fundamental del cálculo diferencial es la siguiente: La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

f ′( x) = lim

∆x → 0

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que lafunción es derivable o que tiene derivada. Puesto que en general, la derivada de una función de x es también es función de x, se emplea el símbolo f ′( x) para representar la derivada de f ( x) . El símbolo

d considerado por si mismo, se llama operador diferencial; indica que toda función que se escriba dx

después de él ha de derivarse con respecto a x. Así:

d f ( x) indica la derivada de f(x)con respecto a x. dx

Ejemplo1: Hallar la derivada de f ( x) = 2 x 2 + 3 x Solución:

f ´( x) = lim

2( x + ∆x) 2 + x + x) (2 x 2 3( ∆ − ∆x → 0 ∆x 2 2 ⎡ x + 2 x(∆x) ( x) 2 ⎤+ 3 x ⎦ = lim ⎣ ∆x → 0 ∆x 2 x 2 + 4 x(∆x) 2( x) 2+ 3 x = lim ∆x → 0 ∆x 2 4 x(∆x) + 2( x) ∆ 3 x + = lim ∆x → 0 ∆x ∆x [ 4 x + 2(∆x) 3] + = lim ∆x → 0 ∆x = lim [ 4 x + 2(∆x) 3] +
∆x → 0

3+ ) x
∆ x 2 x 2+ 3 x 3 + + ∆ ∆ −− − −

3 x 2 x 2+ 3 x ∆
∆

= 4x + 3 De la teoría de límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de la variable. Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta; se han descubierto funciones que son continuas y, que a pesar de eso, no tienen derivada. Para este curso seconsiderarán solamente las funciones derivables. La regla general para la derivación se deduce directamente de la definición de derivada. Sin embargo el procedimiento de aplicar la regla en la resolución de problemas es lago o difícil; por consiguiente, se han deducido de la regla general reglas especificas para derivar ciertas formas normales que se presentan con frecuencia, y que usaremos en este curso afin de facilitar la tarea.

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REGLAS DE DERIVACIÓN Regla para la función constante: Si f(x)=c, donde c es una constante, entonces f ´( x) = 0 Ejemplo 2:

d (5) = 0 dx
Regla para potencias: Si f ( x) = x n , donde n es un entero y n ≥ 1 , entonces f ´( x) = nx n −1 Ejemplo 3:

d 17 ( x ) = 17 x16 dx

d ( x) = 1⋅ x 0 dx

1=

Reglas de la multiplicación de una constante: Sif ( x) = cg ( x) , entonces f ´( x) = c ⋅ [ g´( x) ] Ejemplo 4:

d d (4 x3 ) = 4 ⋅ ( x 3 ) dx dx
Reglas de la suma: Si

4 = x⋅ ) 12 x 2 = (3 2

d [ g ( x) + h( x)] , entonces g´( x) + h´( x) dx 2 = +

Ejemplo 5:

d 3 d d ( x + 2 x) = ( x3 ) (2 x)+ 3 x 2 dx dx dx
Regla del producto:

d [ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) g´( x) dx
Ejemplo 6:

f ´( x⋅) g ( x)

+

⋅ 5 x 2 y⋅4 2 xy 5+ ⋅= +

d 2 5 ⎡x ⋅ y ⎤ ⎦ dx ⎣

2 x=

d 5 d 2 ( y ⋅) (x ) + 5 y dx dx

x2 5 y 4 ⋅ 2 x y5 =

Regla del Cociente:

d ⎡ f ( x) ⎤ g ( x) ⋅ f ´( x) − g´( x) f ( x) = 2 dx ⎢ g ( x) ⎥ ⎣ ⎦ [ g ( x) ]
Ejemplo 6:

⋅

g ( x) ≠ 0

d d ⋅ y 5 ⋅ ( x3 ) + ( y 5 ) x3 d ⎡ x3 ⎤ y 5 ⋅ 3x 2 + 5 y 4 x3 dx dx = = 2 dx ⎢ y 5 ⎥ y10 ⎡ y5 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Derivadas de funciones trigonométricas

3 x⋅2 y 5 5 x3 y 4y10

y 4+ x 2 y 5 x3 ) (3 y10

3 x 2 y 5+ 3 x 4 y

=

d [ sex( x)] = cos( x) dx d ⋅ [csc( x)] = − csc( x) cot( x) dx

d [cos( x)] = − sen( x) dx d [sec( x)] = sec( x) ⋅ tan( x) dx

d [ tan( x)] = sec2 ( x) dx d [cot( x)] = − csc2 ( x) dx

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Ejercicio 1 A. Hallar: 1.

d (3x 2 + 2 x − 5) dx d [( x + 3)( x + 2)] dx
d ⎡ 3x − 1 ⎤ dx ⎢ x 2 + 7 ⎥ ⎣ ⎦ d [5sen( x) + 3cos(x)] dx d [3 ⋅ tan( x)] dx d ( m2 ⋅ sen(m) ) dm d ( x5 − 2 x3 ) dm

2.

d (5 x − 9) dx d ⎡ 2 x 3 (2 x + 7) ⎤ ⎦ dx ⎣
d ⎡ 5 x3 ⎤ ⎢ ⎥ dx ⎣ 3 x 2 − 2 ⎦ d ⎡ x2 + 1 ⎤ ⎢ ⎥ dx ⎣ x ⋅ sen( x) ⎦

3.

d (2 x 3 + 3 x 2 − 7 x) dx d 2 ⎡ x ⋅ sen( x) ⎤ ⎦ dx ⎣
d ⎡ x + 1⎤ dx ⎢ x − 1 ⎥ ⎣ ⎦
d ⎛ x 2 + 3x + 1 ⎞ ⎜ ⎟ dx ⎝ x ⎠

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

d ⎡ tan(...