Ingeniro

T´cnicas de Integraci´n
e
o

´
Indice
Cap´
ıtulo unico: T´cnicas de Integraci´n
´
e
o
1.

Integraci´n Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

3

2.

Integraci´n por Sustituci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
o

4

3.

Integraci´n por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
o

5

4.

Sustituci´n Trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e

6

5.

Integraci´n de Funciones Racionales. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . .
o

8

6.

Integrales que producen Funciones Trigonom´tricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . .
e

9

7.

Sustituci´n rec´
o
ıproca .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

8.

Problemas resueltos de Integraci´n Definida y Doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
o

2

T´cnicas de Integraci´n
e
o
1.

Integraci´n Directa
o

De cada regla de derivaci´n se puede deducir una regla correspondiente de integraci´n. La inteo
o
graci´n directa es aplicable cuandoidentificamos la funci´n primitiva de forma inmediata. Esto es,
o
o
cuando conocemos la regla de diferenciaci´n que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir
o
de la funci´n primitiva.
o
Ejemplo:

2x dx = x2 + k ∵

x2 + k

′

= 2x, k ∈ R.

Propiedades Fundamentales de la Antidiferenciaci´n
o

1.

k · f (x) dx = k ·

f (x) dx, k es una constante.

2. Si f1 y f2 est´ndefinidas en el mismo intervalo, entonces
a
f1 (x) ± f2 (x) dx =

3.

f1 (x) dx ±

dx = x + k, donde k es la constante de integraci´n.
o

4. Si n ∈ Q y n = −1, entonces
xn dx =

5.

1
dx = ln |x| + k.
x

6.

ex dx = ex + k.

7.

sen x dx = − cos x + k.

8.

cos x dx = sen x + k.

9.

sec2 x dx = tg x + k.

10.

csc2 x dx = − cot x dx.

11.

sec x tg x dx = sec x +k.

12.

csc x cot x dx = − cot x + k.

3

xn+1
+k
n+1

f2 (x) dx

1
dx = arcsen x + k.
1 − x2

13.

√

14.

1
dx = arctg x + k.
1 + x2

Ejercicios resueltos
Efect´e las operaciones de antidiferenciaci´n que se indican aplicando las propiedades pertinentes
u
o
en cada caso.

1.

(3x + 4) dx =

3x dx +

2.

(cos x − 5 sen x − 7) dx =

3.

9 + 3x2 − 8x4dx = 3
3x3

4.

√
(x − 3) x dx =

3
4 dx = x2 + 4x + k.
2
cos x dx − 5

x−3 dx +

x3/2 dx − 3

sen x dx − 7

1
8
dx −
x
3

x dx = −

dx = sen x + 5 cos x − 7x + k.
3
4
+ ln |x| − x2 + k.
2
2x
3

2
x1/2 dx = x5/2 − 2x3/2 + k.
5

5. Trabajaremos el integrando con la unica intenci´n de simplificar:
´
o
sec x
dx =
tg x + cot x

=

=

1
cos x
sen xcos x dx
+
cos x sen x
1
cos x
dx
1
sen x cos x
sen x dx

= − cos x + k.

2.

Integraci´n por Sustituci´n
o
o

En muchas ocasiones, cuando la integraci´n directa no es tan obvia, es posible resolver la ino
tegral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado. Este procedimiento se conoce como
integraci´n por sustituci´n.
o
o
Ejercicios resueltos
En los siguientesejercicios resuelva la integral que se indica.

1.

√

4x − 1 dx.

4

√
2
du
= √
∴ dx =
Efectuamos una sustituci´n definida por u = 4x − 1, diferenciando
o
dx
4x − 1
u
du. Efectuamos las sustituciones pertinentes y obtenemos
2
√
1
u
4x − 1 dx = u · du = u3 + k.
2
6
(4x − 1)3/2
+ k. (Compruebe diferen6
ciando el resultado obtenido, deber´ reproducir el integrando.)
aDeshacemos el cambio inicial, entonces

2.

√

4x − 1 dx =

√
x x + 1 dx.
Realizamos la sustituci´n de la siguiente manera: sea u =
o
2u du = dx. Adem´s x = u2 − 1, finalmente
a
√
x x + 1 dx = 2

u2 − 1 u · u du = 2

u4 du −

√

x + 1 =⇒ u2 = x + 1, luego

u2 du

=2

1 5 1 3
u − u
5
3

+ k.

Deshaciendo el cambio se concluye lo pedido.
3.

sec x dx....