INSTITUTO POLITECNICO

INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE
INGENIERIA MECANICA Y
ELECTRICA
CULHUACAN
ASIGNATURA: ANALISIS NUMERICO
GRUPO: 4EM1
PROFESOR:
SANCHEZ JUAREZ EZEQUIEL
ALUMNOS:
PICAZO HERNANDEZ JEAN PIERRE
ALMA VIRIDIANA


OBJETIVO

Cundo se tiene un conjunto de puntos discretos en el plano cartesiano, el objetivo que se persigue es desarrollar un polinomio de enésimo orden que involucrea todos los puntos de la estadística, que se arme en el proceso de observación de un determinado proceso y que permita realizar cálculos intermedios en el intervalo de estudio. Para tal efecto se aplica el modelo matemático propuesto por Lagrange para desarrollar un polinomio de enésimo orden, que permita hacer los cálculos intermedios en intervalo propuesto.

INTRODUCCIÓN

Cuando se observa elfuncionamiento de un determinado proceso, fenómeno o sistema en funcionamiento, solo se pueden documentar los datos de entrada contra los datos de salida. Pero si se desea calcular valores intermedios, y no se cuenta con un modelo matemático que permita realizar la predicción de dichos cálculos. Una técnica para realizar la simulación de los cálculos es la interpolación polinomial. Si se recuerdaque la forma del polinomio general de enésimo orden es:



En el caso de que se cuente con n+1 puntos, se puede desarrollar un polinomio que haga referencia a cada uno de los elementos. Para cuando se tiene solo un par de datos, el polinomio que se propone para conectar esos puntos es, el de primer orden, o sea, una recta. Una de las ventajas que presenta el desarrollar el polinomio de Lagrange, esque dependiendo del número de puntos a interpolar, se puede generar un modelo de hasta n-1 grados.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS

Interpolación polinómica de Lagrange

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es una forma de presentar el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado. Lagrange publicó este resultado en 1795, pero lo descubrióEdward Waring en 1779 y fue redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.1 Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo engañoso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más apropiado es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

El modelo que presenta Lagrange no aplica la técnica del cálculo delas diferencias divididas finitas. Lagrange propone un modelo similar al de Newton pero relaciona los puntos observados a través del cálculo del “producto de”, donde para cada valor de f (xi) lo relaciona con el término de Lagrange, en forma de sumatoria.

El término de Lagrange se desarrolla realizando una operación en forma de sumatoria con la restricción que maraca el “producto de” de lasiguiente manera. Donde la sumatoria va de i hasta los n puntos de observación, pero con la restricción de no usar el valor de j igual a i, para que no se indeterminen los cálculos con la división por cero.

Para desarrollar el “producto de” se trabaja de la siguiente forma:



Para el caso de tres puntos.



La comprobar el funcionamiento del método, se realiza, en primer lugar, se toma un valor decualquiera de x proporcionado en la estadística, se substituye en el modelo interpolado por el método de Lagrange f2(x) y se compara el resultado contra el valor original de la f(x) presentado en la estadística original, la diferencia de estos dos valores da como resultado el error aproximado, de esto se calcula el valor relativo porcentual del error verdadero, para cuantificar en forma porcentualla magnitud del valor y determinar la confiabilidad del resultado.

APLICACIÓN

Se tiene una serie de valores discretos, los cuales reflejan como en una caja negra las entradas y sus correspondientes salidas, dentro de un intervalo determinado, se desea calcular los valores de respuesta para cualquier valor de entrada dentro del intervalo. Mediante el polinomio de enésimo orden de Lagrange...