Integración Avanzada
Páginas: 6 (1455 palabras)
Publicado: 8 de diciembre de 2014
1
C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
MÉTODOS AVANZADOS DE
INTEGRACIÓN
Cuando se es estudiante, ya sea nivel bachillerato o universitario, se nos enseña una
herramienta matemática formidable: las integrales. Y se nos brindan algunos
métodos de integración que debemos de dominar, por ejemplo el método de
sustitución, por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Perodesafortunadamente no se nos enseñan más métodos.
El alumno queda a veces frustrado por la falta de material que existe en el campo de
las integrales. Es mi intención, a través de este curso, transmitirles a todos ustedes
algunos métodos de integración novedosos que he descubierto a lo largo de los años
y que difícilmente podrán encontrar en un libro de texto. Pero para poder
adentrarnos en estemaravilloso mundo de las integrales, se requieren de ciertos
conceptos de matemáticas que necesitan dominar. A saber son los siguientes:
-Método de Heaviside
-Función Gamma
-Función Beta
-Series Hipergeométricas
Estos temas serán el punto de partida de este curso y que nos servirán de base para
conocer otros métodos de integración avanzados. El mayor peso que le daré al curso
serán lasllamadas integrales elípticas, que son muy utilizadas hoy en día en distintas
disciplinas de la ciencia y la tecnología, por lo que se requiere un estudio profundo
sobre estas integrales tan enigmáticas. Debido a la poca información disponible
sobre estas integrales, me he dado a la tarea de reunir información, técnicas
especiales, aprendizaje y experiencia propia sobre las integrales elípticas yse
requiere que el amable lector tenga bases sólidas en materias como Algebra,
Trigonometría, Cálculo Diferencial e Integral, Números Complejos, Funciones
Hiperbólicas, entre otras cosas.
Así que sean todos bienvenidos a este curso sobre integrales.
Atte:
C.I. Gabriel Chié.
2
C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
CAPÍTULO 1
1.1 FRACCIONES PARCIALES
Muchos de ustedes han de conocer latécnica de fracciones parciales, pero pocos
saben que existe una técnica avanzada para calcular los coeficientes de manera
rápida y sencilla. Esa técnica es el método de Heaviside.
Método de Heaviside
Si , , , … ,
son raíces de la ecuación ( ) = 0 y si
correspondientes multiplicidades, de manera que
( ) = ( − ) ( − ) ( − ) ⋯( −
Entonces
( )
( )
, , ,…,
son sus
)
se puededescomponer en la siguiente expansión de fracciones
parciales:
( )
=
+
( ) ( − )
( − )
+
( −
)
+
+ ⋯+
( −
+
−
+⋯+
)
+
( − )
+ ⋯+
( − )
−
+⋯
−
donde los numeradores de las fracciones individuales están determinados por las
siguientes fórmulas:
(
=
( )=
)
( )
(
)!
( )(
)
( )
(
,
=
,
( )=
Hay que darsecuenta que si , , , … ,
)
(
( )
)!
( )(
(
,
)
( )
=
…,
, …,
( )=
)
(
( )
)!
( )(
)
( )
son raíces simples, entonces:
= = = … =
=1
En el caso en que , , , … , sean imaginarios, se agrupan con sus pares conjugados,
de manera que se pueda representar en forma real de la forma:
+
+2
+
+
+
(
+2
+ )
+⋯+
+
(+2
+ )
Veamos unos ejemplos para que el lector visualice lo práctico que es éste método.
3
C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Ejemplo 1
Expandir en fracciones parciales la siguiente fracción:
+1
( + 2)( + 3)( + 4)
Se observa que todas sus raíces del denominador son simples, por lo que:
+1
=
( + 2)( + 3)( + 4)
Para calcular
+
+3
+
+4
, de acuerdo a lo anterior:
(+ 1)( + 2)
1
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
= lim
→
El cálculo de
+2
y
es algo similar:
= lim
→
= lim
→
( + 1)( + 3)
=2
( + 2)( + 3)( + 4)
( + 1)( + 4)
3
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
De modo que:
−1 2
+1
=
+
( + 2)( + 3)( + 4)
+2
3
2
2
−
+3
+4
De esta manera, la expansión en fracciones parciales es muy simple.
Ejemplo 2
Expandir en fracciones...
C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
MÉTODOS AVANZADOS DE
INTEGRACIÓN
Cuando se es estudiante, ya sea nivel bachillerato o universitario, se nos enseña una
herramienta matemática formidable: las integrales. Y se nos brindan algunos
métodos de integración que debemos de dominar, por ejemplo el método de
sustitución, por partes, sustitución trigonométrica y fracciones parciales. Perodesafortunadamente no se nos enseñan más métodos.
El alumno queda a veces frustrado por la falta de material que existe en el campo de
las integrales. Es mi intención, a través de este curso, transmitirles a todos ustedes
algunos métodos de integración novedosos que he descubierto a lo largo de los años
y que difícilmente podrán encontrar en un libro de texto. Pero para poder
adentrarnos en estemaravilloso mundo de las integrales, se requieren de ciertos
conceptos de matemáticas que necesitan dominar. A saber son los siguientes:
-Método de Heaviside
-Función Gamma
-Función Beta
-Series Hipergeométricas
Estos temas serán el punto de partida de este curso y que nos servirán de base para
conocer otros métodos de integración avanzados. El mayor peso que le daré al curso
serán lasllamadas integrales elípticas, que son muy utilizadas hoy en día en distintas
disciplinas de la ciencia y la tecnología, por lo que se requiere un estudio profundo
sobre estas integrales tan enigmáticas. Debido a la poca información disponible
sobre estas integrales, me he dado a la tarea de reunir información, técnicas
especiales, aprendizaje y experiencia propia sobre las integrales elípticas yse
requiere que el amable lector tenga bases sólidas en materias como Algebra,
Trigonometría, Cálculo Diferencial e Integral, Números Complejos, Funciones
Hiperbólicas, entre otras cosas.
Así que sean todos bienvenidos a este curso sobre integrales.
Atte:
C.I. Gabriel Chié.
2
C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
CAPÍTULO 1
1.1 FRACCIONES PARCIALES
Muchos de ustedes han de conocer latécnica de fracciones parciales, pero pocos
saben que existe una técnica avanzada para calcular los coeficientes de manera
rápida y sencilla. Esa técnica es el método de Heaviside.
Método de Heaviside
Si , , , … ,
son raíces de la ecuación ( ) = 0 y si
correspondientes multiplicidades, de manera que
( ) = ( − ) ( − ) ( − ) ⋯( −
Entonces
( )
( )
, , ,…,
son sus
)
se puededescomponer en la siguiente expansión de fracciones
parciales:
( )
=
+
( ) ( − )
( − )
+
( −
)
+
+ ⋯+
( −
+
−
+⋯+
)
+
( − )
+ ⋯+
( − )
−
+⋯
−
donde los numeradores de las fracciones individuales están determinados por las
siguientes fórmulas:
(
=
( )=
)
( )
(
)!
( )(
)
( )
(
,
=
,
( )=
Hay que darsecuenta que si , , , … ,
)
(
( )
)!
( )(
(
,
)
( )
=
…,
, …,
( )=
)
(
( )
)!
( )(
)
( )
son raíces simples, entonces:
= = = … =
=1
En el caso en que , , , … , sean imaginarios, se agrupan con sus pares conjugados,
de manera que se pueda representar en forma real de la forma:
+
+2
+
+
+
(
+2
+ )
+⋯+
+
(+2
+ )
Veamos unos ejemplos para que el lector visualice lo práctico que es éste método.
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C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA
Ejemplo 1
Expandir en fracciones parciales la siguiente fracción:
+1
( + 2)( + 3)( + 4)
Se observa que todas sus raíces del denominador son simples, por lo que:
+1
=
( + 2)( + 3)( + 4)
Para calcular
+
+3
+
+4
, de acuerdo a lo anterior:
(+ 1)( + 2)
1
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
= lim
→
El cálculo de
+2
y
es algo similar:
= lim
→
= lim
→
( + 1)( + 3)
=2
( + 2)( + 3)( + 4)
( + 1)( + 4)
3
=−
( + 2)( + 3)( + 4)
2
De modo que:
−1 2
+1
=
+
( + 2)( + 3)( + 4)
+2
3
2
2
−
+3
+4
De esta manera, la expansión en fracciones parciales es muy simple.
Ejemplo 2
Expandir en fracciones...
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