Integracion y aplicaciones

Prologo

Este trabajo cuenta con el desarrollo del tema integrales desde el punto de vista administrativo, claro ajustándose a lo visto en la clase de matemáticas.
Se desarrollara de acuerdo al programa de la carrera elaborado en el Instituto Tecnológico de Nogales, el 02 de abril del 2004.
Se centra en entender los objetivos del programa antes señalado que son:
* Comprender el conceptode integral.
* Aplicar las reglas de integración.
* Resolver problemas de integrales definidas.
* Solucionar problemas relativos a conceptos de administración y economía.

Todo esto con el fin de desarrollar habilidades que serán de gran utilidad para futuras asignaturas, así como para promover la responsabilidad en cada uno de nosotros los alumnos; también para poder desarrollarhabilidades que pondremos en practica mas delante cuando concluyamos nuestros estudios.
El trabajo presentado a continuación cuenta con ejemplos de fácil comprensión, con su respectiva solución así como las definiciones más elementales de cada concepto.
Me base en el autor que para mi es el mas completo y entendible, espero este trabajo sea de su agrado.

El cálculo integral es un área de estudioimportantísima para el estudio del cálculo.
Generalmente las integrales como suelen llamarse nos sirven para determinar áreas y superficies pero en esta ocasión las abordaremos de una manera mas sencillas y aplicadas a la administración.
Abordaremos la naturaleza del cálculo integral al relacionarlo con las derivadas que se estudiaron en la unidad pasada.

1.1 Concepto de antiderivadaUna función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F’ (x) para toda x en I.

Así una antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, por ejemplo, F(x) = x2 es una antiderivada de f(x)=2x, pues

F’ (x) = ddxx2= 2x=f(x)

y F(x) =x3 + 2x + 1 es una antiderivada de f(x) = 3x2 + 2, pues

F’ (x) = ddxx3+2x+1=3x2+2=f(x)

Ejemplo

Sea F(x) = 13x3-2x2+x-1mostrar que F es una antiderivada de f(x) = x2-4x+1

Solución
Al derivar la función F se obtiene

F’ (x) = x2-4x+1=f(x)

De donde se desprende el resultado deseado.

Dada una función f ya se sabe calcular la derivada f´. Puede haber ocasiones en que se conozca la derivada f´ y que se quiera encontrar la función original f. Puesto que el proceso de determinar la funciónoriginal es el opuesto al de la diferenciación, se dice que f es una antiderivada de f´.

Considérese la derivada

f´(x) = 4

Método de tanteo

Al utilizar el método de tanteo, no resulta muy difícil concluir que la función

f (x) = 4x

tiene una derivada de la forma de la ecuación anterior. He aquí otra función que tiene la misma derivada:

f (x) = 4x + 1

De hecho, cualquier funciónque tenga la forma

f (x) = 4x + C

donde C es cualquier constante, tendrá también la misma derivada. Así pues, con la derivada de la ecuación f´(x) = 4, la conclusión será que la función original pertenecía a la familia de funciones caracterizadas por la ecuación f (x) = 4x + C. Esa familia es un conjunto de funciones lineales cuyos miembros tiene una pendiente de + 4, perodiferentes intersecciones C con el eje y.

La siguiente figura contiene algunos miembros de esa familia de funciones:

Se puede afirmar que la función.

f (x) = 4x + C

es la antiderivada de:

f´(x) = 4

EJEMPLOS:

1 Encuentre la antiderivada de f´(x) = 0

Solución

Se sabe que la derivada de cualquier función contante es 0. Por lo tanto, la antiderivada es:

f (x) = C

2Encuentre la antiderivada de f´(x) = 2x – 5

Solución

Al aplicar el método de tanteo y al trabajar con cada término por separado, se llega a la conclusión de que al antiderivada es:

f (x) = x2 – 5x + C

Una comprobación fácil de la antiderivada f consiste en diferenciarla y determinar f´.

Puede ser posible determinar la función precisa de donde se dedujo f´. Supóngase en el...