Integración de romberg
Páginas: 13 (3166 palabras)
Publicado: 5 de julio de 2011
Integración de Romberg
El proceso secuencia) de tomar dos subintervalos, luego cuatro, luego ocho, etc. Mediante la regla compuesta del trapecio para determinar una aproximación de la integral genera una sucesión de aproximaciones {T(f,hj)} donde hj=b-a/2j-1que presentan el inconveniente de que al doblar el número de subintervalos, prácticamente se dobla el número de evaluaciones de lafunción. El método de integración de Romberg consiste en aplicar el método de extrapolación de Richardson a las aproximaciones de la integración obtenidas por la regla compuesta del trapecio para 2j-1 intervalos, j≥1, Este método consigue eliminar las evaluaciones y sumas redundantes.
Es posible probar (aunque no es fácil) que si entonces f є C∞ [a,b] entonces podemos escribir la regla compuesta deltrapecio en la forma:
Don Ki para cada i es independiente de hk, hj=b-a/2j-1 y R(J,1) es la aproximación dada por el método del trapecio para el incremento hj, esto es, para 2j-1 subintervalos. Así:
Aplicando el método de extrapolación de richarson obtenemos, para cada J=2,3,…n y k=2,…, j una formula de extrapolación O(h2j/j) definida por.
El calculo de los valores R(j,k) se suelerepresentar en forma de tabla.
El método de extrapolación de Richardson podemos aplicarlo también usando la regla compuesta del trapecio y comenzando con un número cualquiera de subdivisiones del intervalo inicial.
Introducción al método de elementos finitos.
La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectadospor una serie de puntos llamados nodos.
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento.
De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por unsistema de ecuaciones, lineales o no.
En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:
· Dominio. Espacio geométrico donde se va ha analizar el sistema.
· Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor,...
· Incógnitas. Variables del sistema que deseamos conocer después de que lascondiciones de contorno han actuados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas,...
El método de los elementos finitos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o superficies (en el tridimensional) imaginarias, de forma que eldominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema.
En el caso de elementos estructurales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir deéstos podemos calcular el resto de incógnitas que nos interesen: tensiones, deformaciones,... A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo.
Por ejemplo si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribución detemperaturas tal y como muestra la figura,
El discretizado del dominio puede ser:
Los grados de libertad de cada nodo serán:
· Desplazamiento en dirección x
· Desplazamiento en dirección y
· Giro según z
· Temperatura
El sistema, debido a las condiciones de contorno: empotramiento, fuerza puntual y temperatura, evoluciona hasta un estado final. En este estado final, conocidos los...
El proceso secuencia) de tomar dos subintervalos, luego cuatro, luego ocho, etc. Mediante la regla compuesta del trapecio para determinar una aproximación de la integral genera una sucesión de aproximaciones {T(f,hj)} donde hj=b-a/2j-1que presentan el inconveniente de que al doblar el número de subintervalos, prácticamente se dobla el número de evaluaciones de lafunción. El método de integración de Romberg consiste en aplicar el método de extrapolación de Richardson a las aproximaciones de la integración obtenidas por la regla compuesta del trapecio para 2j-1 intervalos, j≥1, Este método consigue eliminar las evaluaciones y sumas redundantes.
Es posible probar (aunque no es fácil) que si entonces f є C∞ [a,b] entonces podemos escribir la regla compuesta deltrapecio en la forma:
Don Ki para cada i es independiente de hk, hj=b-a/2j-1 y R(J,1) es la aproximación dada por el método del trapecio para el incremento hj, esto es, para 2j-1 subintervalos. Así:
Aplicando el método de extrapolación de richarson obtenemos, para cada J=2,3,…n y k=2,…, j una formula de extrapolación O(h2j/j) definida por.
El calculo de los valores R(j,k) se suelerepresentar en forma de tabla.
El método de extrapolación de Richardson podemos aplicarlo también usando la regla compuesta del trapecio y comenzando con un número cualquiera de subdivisiones del intervalo inicial.
Introducción al método de elementos finitos.
La idea general del método de los elementos finitos es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectadospor una serie de puntos llamados nodos.
Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento.
De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por unsistema de ecuaciones, lineales o no.
En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:
· Dominio. Espacio geométrico donde se va ha analizar el sistema.
· Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor,...
· Incógnitas. Variables del sistema que deseamos conocer después de que lascondiciones de contorno han actuados sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas,...
El método de los elementos finitos supone, para solucionar el problema, el dominio discretizado en subdominios denominados elementos. El dominio se divide mediante puntos (en el caso lineal), mediante líneas (en el caso bidimensional) o superficies (en el tridimensional) imaginarias, de forma que eldominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema.
En el caso de elementos estructurales estas incógnitas son los desplazamientos nodales, ya que a partir deéstos podemos calcular el resto de incógnitas que nos interesen: tensiones, deformaciones,... A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo.
Por ejemplo si el sistema a estudiar es una viga en voladizo con una carga puntual en el extremo y una distribución detemperaturas tal y como muestra la figura,
El discretizado del dominio puede ser:
Los grados de libertad de cada nodo serán:
· Desplazamiento en dirección x
· Desplazamiento en dirección y
· Giro según z
· Temperatura
El sistema, debido a las condiciones de contorno: empotramiento, fuerza puntual y temperatura, evoluciona hasta un estado final. En este estado final, conocidos los...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.