Metodo De Integracion De Romberg

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG 
La integración de Romberg es una técnica diseñada para obtener integrales numéricas de funciones de manera eficiente. Este método es muy parecido a utilizaraplicaciones sucesivas del método del trapecio.
El método de extrapolación de Richarson se usa para estimar los errores de cálculo, de tal forma que se puede calcular integrales sucesivamente, es decir,de dos integrales se puede deducir una tercera más exacta.
Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición de sub-intervalos de longitud y usando la regla del trapecio.Entonces:
 
Donde:
es el error de truncamiento que se comete al aplicar la regla. 
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener untercer valor más exacto como se mencionó anteriormente.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una formula recursiva.
Supongamos que tenemos dosaproximaciones y :

Se puede demostrar que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas: 
 
 
donde es un promedio dela doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada uno de los sub-intervalos.

Ahora bien, si suponemos que el valor de es constante, entonces : 

 
Sustituyendo esto último ennuestra primera igualdad, tenemos que: 

 
 
De aquí podemos despejar : 
 
 
En el caso especial cuando (que es elalgoritmo de Romberg), tenemos: 
 

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primernivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio y de esta manera para poder usar la fórmula anterior debemos de duplicar cada vez el número de subintervalos de esta forma podemos comenzar con un...