Integral Indefinida

1. Integral Indefinida
La integral indefinida de la función continua y =f(x) es la familia de funciones representadas por:

∫ f (x) dx = F(x) + C
donde C es una constante y F es una antiderivada de f, es decir, F’(x) = f(x).

Propiedades de la integral definida

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx (*) ∫ [ f ( x) g ( x)] dx ≠ ∫ f ( x) dx ∫ g (x) dx
Integrales inmediatas

∫ k dx = kx + C , ∫
x n dx = 1

C constante

x n +1 , n ≠1 n +1

∫ x dx = ln | x | + C , x ≠ 0 x x ∫ e dx = e + C ∫ ∫ sen x dx = − cos x + C ∫ cos x dx = sen x + C dx ∫ 1 − x2 = arcsen x + C
x

ax a dx = , a > 0, a ≠ 1 ln a

∫ 1 + x2 = arctan x + C
____________________________________________________________

__________
Integral Indefinida- Prof.Isabel Arratia Zárate

dx

1

I

Calcule las siguientes integrales inmediatas: 1.

∫ (5x

3

+ 6 x − 7)dx

16.

∫
∫

2x 2 − 4x + 1 x
3

dx

2.

∫

  3x  − 4 dx   2
2

17. 18. 19.

x −1 (4 x 3 − x 2 − x) dx

3. 4. 5. 6. 7. 8.

∫ (4t ∫ (e

+ 3t + 1)dt
2

∫ 3x( x + 1)( x + 4) dx
∫ 2x
2

∫ (1 − 6t − 5t
x

)dt

(x − 3)(x + 4)dx

− 4 x 2 − 5 x 3)dx
3

20. 21. 22. 23.

∫
∫

x 2 x 2 − 1 dx
x ( x 2 − 2 x + 5) dx

−3

(

)

∫ (5 − 2 x

− 7 x −1 )dx

∫ (x + 3
∫ (x
−1

x )dx

− x − 2 − x − 3 dx

)

∫

(2 x

1

3

− 4x
3

−1

3 ) dx

9.

∫

3  4  + 2 dx  +  3  x2 x 

∫ (3x + 2) dx
∫
t 2 + 3t − 2 t dt
2

24.

10.

∫  (8x ) 3 + 1dx  
1





25. 11.

 ∫2 

3 1  dx x− 3  x
2

∫
∫

2  x 1  +  dx x 3 2
1  x  x − dx x 
x − 3 x ) 2 dx

26.

12. 13. 14. 15.

∫ (2 x + (1 − x) ∫ (1 − (3x − 1) ∫ ((t
2

)dx
27.

2

∫( ∫ (2

)dt
28. 29.

∫ (2 sin x − 3 cos x) dx
x

− 1) 2 + t )dt − x)(2 − x) dx
30.

− cos x) dx

∫ (3x

2

∫

2 x cos x − x dx x
2____________________________________________________________

__________
Integral Indefinida- Prof. Isabel Arratia Zárate

II

Use una sustitución adecuada para calcular las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

∫ 2 x e dx ln x ∫ x dx

x2

20. 21. 22.

∫

x2 x3 + 1

dx

∫

( x 2 − x) (2 x − 1) dx
1 2

4

∫3+
x

dx 1 + 2x
2

∫ (x + 4) ∫ ( x − 5)

dx
23.

∫ 25 −x

dx

−1

3 dx

∫

∫

(ln x )2
x

24.

dx
25.
2

∫ 5x 2 + 4 x + 7 dx

ln( x + 1) dx x +1 5x + 2 x

∫ x 1− x dx ∫1− x
∫
dx 5 − 2x

dx
26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

∫ x +1 dx ∫ ( x − 1) x + 1 dx x ∫ 3 4 − 3x dx
∫ x dx 2 3 ∫ cos x sen x dx
∫
cos x dx 2 senx + 1

∫

x +1

e x

x 2 + 2x − 4

dx

∫ 3 x x ∫ e (e + 1) dx
x x 2 + 1 dx

∫sen

2

x cos x dx

∫ cos x sen x dx sen x dx ∫ cos 2 x
3

∫ (1 + cos 2 x )2 dx

sen2 x

∫ e x + 1 dx
∫
∫
ln (ln x) dx x ln x x dx 4 x+2
5

ex −1

∫ cos 2 x dx ∫
cot an x sen 2 x dx

tan x

∫ ( x + 1) 2 dx
∫ xe
2− x
2

x + 2x

2

∫x
∫

2 + x 3 dx

x3 − x 2 − 6x dx x−3

dx

____________________________________________________________

__________
IntegralIndefinida- Prof. Isabel Arratia Zárate

3

III 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 21.

Use la integración por partes para encontrar las siguientes integrales:

∫ xe

−x

dx
dx

11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

∫ xe

2x

∫ 4 x ln(4 x) dx 2 ∫ x(ln x) dx
∫
ln(ln x) dx x
2

∫ x ln xdx
∫ ln(2 x + 1)dx 3 ∫ x(3x − 1) dx 2 2 ∫ x (x + 1) dx ∫ x e dx 3 2x ∫ x e dx
x 3

∫x1 − x dx

∫x ∫ ln ∫

3

1 + x 2 dx

x + 1 dx

ln( x + 1) dx x

∫ e x−2
∫ (ln x ) dx
2

x dx

20.

∫ arcsen 2 x dx ∫ x cos x dx ∫ arctan x dx

Use la integración por partes para comprobar las siguientes fórmulas de reducción: a)

∫x

n ax

e

x n e ax n n −1 ax dx = − x e dx a a

∫

b)

∫

x n ln x dx =

x n +1 (n + 1) 2

(−1 + (n − 1) ln x) + C , n ≠ −1...