Integral Indifinida

INTEGRAL INDEFINIDA
Daremos el nombre de función primitiva de la función f(x) en el intervalo (a,b) a toda función real de variable real F(x), derivable, tal
que para todos los puntos del intervalo (a,b) verifique F'(x) = f(x).
No se excluye que una función f(x) tenga más de una primitiva puesto que ( F(x) + C)' = F'(x) = f(x), por lo tanto tenemos que F(x)
+ C es también primitiva de f(x) œ Cconstante.
Al conjunto de funciones primitivas de f(x) le llamaremos integral indefinida de f(x), designado por f ( x ) d
m
Dada una primitiva cualquiera de una función f(x), que denotaremos por F(x), podemos escribir f ( x ) d = F(x) +C
m

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Si F y G son dos primitivas de f entonces F - G es una constante y viceversa
( F - G )` (x) = F`(x) - G`(x) = f(x) - f(x) =0 <--> F(x) - G(x) = cte <-->
(F - G) (x) = cte <---> F - G = C
m
Sean

m

m

f(x ) d

f(x ) d x %

[f(x ) % g (x )] d x '
= F(x) + K

m

]

m

f( x ) d x %

F'(x) = f(x) y

m

m

g (x) d x

g (x) d x

= G(x) + H

]

G'(x) = g(x)

g ( x ) d x = F(x) + K + G(x) + H =

F(x) + G(x) + ( K + H) = F(x) + G(x) + C =
(F + G) (x) + C
con lo que comprobamos que es una primitiva de F + G en conclusión
m

[f( x ) % g ( x ) ] d x '

m

k f(x ) d x ' k

m

m

f(x ) d x %

m

g (x ) d x

f(x ) d x

La demostración es análoga a la anterior.

INTEGRAL DEFINIDA
Si conocemos la ecuación de una curva y = f(x) donde f(x) $0, ¿cómo calcularemos el área entre el eje OX, la curva y las abcisas x
= a, x = b?.
b

Denotaremos por

m

b

f(x ) dx =

a

m

b

f(x ) =

a

m

f

a

al área que andamos buscando.Definimos una partición de un intervalo [a, b] como una sucesión de puntos, no necesariamente a la misma distancia unos de otros,
pero se puede tomar en ese sentido para simplificar los cálculos,
P = { x0, x1, x2 ,x3, ... Xn} donde

x0 = a < x1 < x2 <... < xn = b
Decimos que una partición P es más fina que una partición P’ si P’ d P
teoria de integrales completa.wpd

Página 1 de 4

SUMAS SUPERIORES EINFERIORES
Sea f una función continua y positiva en [xi-1, xi], llamaremos Mi y mi a los valores máximo y mínimo que toma la función en ese
intervalo, la existencia de esos valores está garantizada por que toda función continua alcanza su máximo y mínimo en un intervalo cerrado.
mi # f(xi) # M i
Para calcular el área procedermeos del siguiente modo

Definimos una sucesión de particiones P1,P2, P3,..Pn, tales que la distancia entre dos de sus puntos consecutivos tienda a 0. xi - xi-1 —>0
Se llama suma superior de la función f asociada a la partición P, y se designa por S(f, P) al siguiente número real:
S(f,P) = (x1-x0) M 1 + (x2-x1) M 2+ .... + (xn -xn-1) M n.
Se llama suma inferior de la función f asociada a la partición P, y se designa por I(f, P) al siguiente número real:
I(f,P) =(x1-x0) m1 + (x2-x1) m2 + .... + (xn -xn-1) mn
Evidentemente I(f,P) # S(f,P)

INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCIÓN
Partiendo de la desigualdad anterior podemos seguir el razonamiento dentro de una partición P del intervalo [a, b]
Tomaremos un punto ci en cada subintervalo [ xi-1, xi.], entonces mi # f(c i) # M i además sabemos que xi - xi-1---> 0 lo que hace que mi ---> M i
Por lo tanto:
I(f,P) # j
n

i'1

f(ci) (xi - xi-1) # S(f,P)

por lo que el área buscada está comprendida entre I(f,P) y S(f,P)
I(f,P) # Área # S(f,P) (1)
A continuación obtendremos el término general de la sucesión:

sn = j
i '1

f(ci) (xi - xi-1)

y dado que

(xi - xi-1) --->0 es evidente que

n

lí m

I(f,P) =

n6 4

lí m

n6 4

S(f,P)

Por la desigualdad obtenida en (1) sabemos que

lí m

I(f,P) # l í m

n6 4

n6 4

lí m
n64

sn =

m

sn #

lí m

n6 4

S(f,P) por lo tanto

f(x ) d

a este límite se le dio el nombre de:

integral de Riemann o simplemente INTEGRAL DEFINIDA
de la función f en en el intervalo [a, b].
En su verdadera extensión la integral de Riemann se define no sólo para funciones continuas sino para funciones donde no se puede asegurar
la existencia del máximo o del mínimo; se trabaja entonces con...