Integral Linea

INTREGAL DE LINEA
Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llamatambién integral de contorno.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
el cálculo de la longitud de una curva en el espacio,
o también para el cálculo del trabajo que se realiza para moveralgún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Integral curvilínea de un campo escalar
Integral delínea de un campo escalar
Para f : R2 → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t  [a, b], está definida como:donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de laparametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorialPara F : Rn → Rn un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t  [a, b], está definida como:

donde  es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitrariade la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.
Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintasparametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultaráncon iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real...