Integral de Linea

Integral de Línea.

INTEGRAL DE LÍNEA.
Una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada
sobre una curva.
Este tipo de integrales pueden ser utilizadas para determinar:
i.
ii.

El trabajo que se realiza para mover una partícula a lo largo de una
trayectoria en un campo vectorial. Integral de línea de un campo vectorial.
La longitud de una curva en el espacio.Integral de línea de un campo
escalar.

Integral de línea de un campo vectorial.
Definición.
Sea “C” una curva que está en un disco abierto B en R 2, y que tiene la función
vectorial;

⃗ (𝒕) = 𝒙(𝒕)𝒊̂ + 𝒚(𝒕)𝒋̂ 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆; 𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃
𝒓
Tal que; 𝒙̇ (𝒕) 𝒚 𝒚̇ (𝒕) son continuas en “B”.
Además considere la función vectorial;

⃗ (𝒙, 𝒚) = 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒊̂ + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒋̂
𝑭
Entonces la integral de línea sobre la curva “C” estádada en forma vectorial como:

La forma diferencial de la integral de línea será:

Ing. Fortunato Cerecedo H.

1

Integral de Línea.
La construcción de un campo vectorial a partir de un gradiente y la integral de
línea sobre este campo vectorial se observa en los siguientes ejercicios.
1. Determinar el gradiente de la función

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = −4𝑥 − 2𝑦 + 2. Analizar su resultado.
Solución.

∇𝑓 = −4𝑖̂ −2𝑗̂
El gradiente da como resultado una función vectorial de variable vectorial llamada
campo vectorial.
La gráfica de éste campo vectorial es:

Se observa que la función vectorial es constante. El comportamiento del campo
resultante se revisa usando la divergencia y el rotacional.
Si, 𝐹 (𝑥, 𝑦) = −4𝑖̂ − 2𝑗̂; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑀(𝑥, 𝑦) = −4 𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = −2

Ing. Fortunato Cerecedo H.

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Integral de Línea.Divergencia: ∇ ∙ 𝐹 =

𝜕
𝜕𝑥

(−4) +

𝜕
𝜕𝑥

(−2) = 0

De acuerdo al resultado el campo vectorial es “Solenoidal”.
Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la
velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de
fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
La divergencia tiene una interpretación física importante. Siimaginamos 𝐹 como
el campo velocidad de un gas (o un fluido), entonces 𝛁 ∙ ⃗𝑭 representa la tasa de
expansión por unidad de volumen bajo el flujo del gas (o del fluido).
Si ∇ ∙ 𝐹 < 0, esto significa que el gas se está comprimiendo, caso contrario
cuando la divergencia es mayor que cero, el gas se expande.
Para un campo vectorial 𝐹 (𝑥, 𝑦) = −4𝑖̂ − 2𝑗̂, la divergencia mide la tasa de
expansión delárea, si la divergencia es “cero” entonces el fluido no se comprime
ni se expande.
Si 𝐹 (𝑥, 𝑦) representa un campo de fuerzas, la intensidad se mantiene constante
en cualquier punto de espacio R2 lo cual corresponde con un campo “Solenoidal”.
Para el rotacional se tiene;

𝑖̂
𝑗̂
𝜕
𝜕
∇×𝐹 →|
𝜕𝑥 𝜕𝑦
−4 −2

𝑘̂
𝜕|
→ ∇ × 𝐹 = 0𝑖̂ + 0𝑗̂ + 0𝑘̂ → |∇ × 𝐹 | = 0
𝜕𝑧
0

Si la magnitud del rotacional es “cero”,entonces el fluido no presenta giros o
rotaciones en ningún punto del espacio R2.
Así ∇ × 𝐹 = ⃗0 nos indica que 𝐹 (𝑥, 𝑦) es un campo vectorial “Conservativo”.

Ing. Fortunato Cerecedo H.

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Integral de Línea.
2. Calcular

la

integral

de

línea

al

movernos

del

punto

(−2, −2) 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (4,1), de acuerdo a la trayectoria dada por:
i.

La recta que pasa por dichos puntos.

ii.

Una parábola quecontenga a los puntos y cuyo vértice sea 𝑉(0, −3).

Considerar el campo de fuerzas dado por:

𝛁𝒇 = −𝟒𝒊̂ − 𝟐𝒋̂
Solución.
i.

La gráfica muestra los puntos.

Para determinar la trayectoria usamos,

𝑦 − 𝑦1 =

𝑦1 − 𝑦2
(𝑥 − 𝑥1 )
𝑥1 − 𝑥2

La ecuación de la recta es:

𝑦=

Ing. Fortunato Cerecedo H.

𝑥
−1
2

4

Integral de Línea.

La forma vectorial de la recta es:

𝑡
𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖̂ + ( − 1) 𝑗̂
2

Las ecuacionesparamétricas son:

𝑥(𝑡) = 𝑡
𝑦(𝑡) =

𝑡
−1
2

La integral de línea viene dada en forma vectorial como:

∮ 𝐹 ∙ 𝑑𝑟
Derivando la expresión de la trayectoria.

𝑑𝑟
1
1
= 𝑖̂ + 𝑗̂ → 𝑑𝑟 = (𝑖̂ + 𝑗̂) 𝑑𝑡
𝑑𝑡
2
2
La integral de línea será:
𝑡1

1
∮ (−4𝑖̂ − 2𝑗̂) ∙ (𝑖̂ + 𝑗̂) 𝑑𝑡
2
𝑡0
Ing. Fortunato Cerecedo H.

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Integral de Línea.
Para establecer el intervalo debemos considerar.
En 𝑡0 la partícula se debe...