Integrales de linea

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INTEGRALES DE LÍNEA

En el curso de análisis vectorial hemos definido los elementos diferenciales que fueron presentados sobre trayectorias, en particular hablamos de las coordenadas lineales:En coordenadas cartesianas los elementos de línea están definidos como:

En coordenadas cilíndricas el elemento de línea esta definido como:

En coordenadas esférica




Ejemplo:Encuentra la fuerza total que actúa sobre un alambre circular en forma de anillo localizado en el plano xy centrado en el origen, la densidad de la fuerza es constante en la componente (de lascoordenadas polares), considere además un radio de un metro.


Solución:
Considerando la integración como una forma de obtener la suma de todas las fuerzas que se producen en el anillo,consideremos además que una diferencial de longitud estará dada por



por consiguiente la integral de línea nos indica que la fuerza total es igual a cero.




INTEGRALES DE SUPERFICIESUna superficie en el espacio o espacio tridimensional se forma por un conjunto de puntos cuyas coordenadas son independientes. Las integrales de superficie de campos vectoriales y escalares, seutilizan de acuerdo a la función que define la superficie a analizar.
Las integrales de superficie de funciones vectoriales en coordenadas cartesianas guardan una analogía con las integrales de línea, porejemplo:


donde la integración de la superficie se da como
y la s indica que se integra sobre la superficie, si la integración es sobre una superficie cerrada se representa con elsímbolo:


si la integración no es cerrada también representaremos la integración sobre una superficie de la siguiente forma:


en este las diferenciales dependerán de los elementos de loselementos de línea utilizado para la superficie a analizar.

Nota: Al igual que la integración para una superficie cerrada también se define la integración sobre trayectorias de líneas cerradas,...
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