INTEGRAL RIEMANN

INDICE


• Introducción 01
• Partición de un intervalo 02
• Suma de Riemann superior e inferior 03
• Variación de las sumas de Riemann04
• Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables 05
• Caracterización de las funciones Riemann-Integrables 06
• Sumas de Riemann07
• Tipos de aproximación de la integral 08
• Funciones Riemann-Integrables 09
• Teorema Fundamental del Cálculo 10
• Evaluación de la integral: regla de Barrow11
• Integral de Riemann de funciones no positivas 12
• Propiedades de la integral de Riemann 13
• Aplicaciones 14





Introducción

Consideraremos una función real y = f(x) positiva yacotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.
Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferior de Darboux de una función definida en un intervalo [a,b], asociadas a unapartición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
Veremos algunas de sus propiedades, en particular las referentes a la relación entre ambas sumas y a su comportamiento cuando se consideran particiones cada vez más finas (que corresponderán a aproximaciones del área cada vez mejores). Estas propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumasinferiores y del ínfimo de las sumas superiores, siendo estos valores las integrales inferior y superior, respectivamente, de Darboux, en el intervalo [a,b].
Al ser f positiva en [a,b], estos valores nos proporcionan estimaciones, por debajo y por arriba del área encerrada por f en [a,b]. Se dirá que f es integrable Darboux en [a,b] si "ambas aproximaciones coinciden". La integral de Riemann se definede forma ligeramente diferente, a partir de particiones evaluadas. La integral de Riemann y la de Darboux son equivalentes. Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas. En este caso se define la integral de f en el intervalo [a,b] como el valor común de las integrales inferior y superior.
Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar laintegrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior. Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximación de la integral.
Entre las propiedades fundamentales de la integral veremos la linealidad, la monotonía y la aditividad respecto del intervalo.
Daremos también, uno de los resultados centrales de toda la Matemática, el Teorema Fundamental delCálculo, que relaciona dos ramas centrales del Análisis: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. Así mismo, veremos la regla de Barrow que permite calcular la integral de Riemann de una función integrable a partir de una primitiva de la función.
Algunas de las aplicaciones prácticas son el cálculo de límites de algunas sucesiones cuyos términos están formados por sumas con un número creciente...