La integral de riemann

1

La integral de Riemann
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremos de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos integrables.

Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finitode puntos de [a, b] que Definición 1.1 incluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor, comenzando en a y terminando en b: P = {xi }n ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. i=0 El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P([a, b]). Una partición como la indicada divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ], cada unode longitud xi − xi−1 . Definición 1.2.

(Suma inferior y superior) Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea

P ∈ P([a, b]), P ≡ {a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n, Mi = sup{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}; La suma inferior de f asociada a P se define como L( f , P) = ! mi (xi − xi−1 ),
i=1 n

mi = ´nf{ f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}. ı

y la sumasuperior de f asociada a P es
U ( f , P) =

i=1

! Mi (xi − xi−1 ).

n

f (x) f (x)

a x1

x2

...

xn−1

b

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma inferior asociada a una partición

Suma superior asociada a una partición

1

Proposición (Propiedades de L y U) Sea f una función acotada en un intervalo cerrado y acotado [a, b]:
1) 2)

2

L( f , P) ≤ U( f , P) paracualquier P ∈ P([a, b]) Si P y Q son particiones de [a, b] y P ⊆ Q entonces:
a) L( f , P) ≤ L ( f , Q) b) U( f , Q) ≤ U( f , P)

3)

Si P y Q son particiones de [a, b] cualesquiera, entonces: L( f , P) ≤ U( f , Q)

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma inferior y suma superior para particiones distintas

4)

Existen los números sup{ L( f , P) : P ∈ P([a, b])}, ´nf{ U ( f , P) : P ∈ P([a,b])}. ı

Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función no negativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el área de dicha región es A, entonces L( f , P) ≤ A ≤ U ( f , P) ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [xi−1 , xi ) por mi o Mi , y los hemos definido deforma que mi ≤ f ≤ Mi (de hecho hemos tomado los valores más ajustados que cumplen dichas desigualdades).

a x1

x2

...

xn−1

b

Suma superior, área y suma inferior

3

Definición 1.3.

Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior en [a, b] como
￿ b
a

f = sup{ L( f , P) : P ∈ P([a, b])},

y su integral superior en [a, b] como
￿ b
a

f = ´nf { U ( f , P) : P ∈P([a, b])}. ı

Notemos que, como consecuencia de la proposición previa, la integral inferior y la superior son valores reales perfectamente definidos para cualquier función acotada en un intervalo cerrado y acotado. No es difícil adivinar que la integral inferior es siempre menor o igual que la superior, pero la demostración de este hecho es menos trivial de lo que parece a simple vista. TeoremaSi f es una función acotada en [a, b], entonces su integral inferior es siempre menor o igual que su integral superior:
￿ b
a

f≤

￿ b
a

f

Definición 1.4. Una función f acotada en [a, b] es integrable-Riemann en [a, b] (en el sentido de Darboux), o simplemente integrable, si se cumple que
￿ b
a

f=

￿ b
a

f.

En tal caso, al valor común de dichas integrales se le llama laintegral (de Riemann) de f en [a, b], y se escribe
￿ b
a

f.
￿ b
a

A veces es cómodo escribir la integral como
￿ b
a

f (x)dx, expresando la función mediante su va-

lor f (x) en la variable x. En tal caso, es indiferente la letra empleada: el mismo significado tiene f (y)dy,
￿ b
a

f (z)dz,

el intervalo [a, b].

￿ b
a

f (t)dt, etc.; todos estos símbolos representan la...